Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
(A + αuu + βvv ). Dans le but d’appliquer le résultat de la 5 e question de
l’Exercice I.8, nous évaluons les expressions suivantes :
1 + α
A
−1 u, u
= 1 +
Bs, s
y, s
,
rappelons que
y, s = W −1 s 2 > 0
1 + β
A
−1 v, v
= 0,
d :=
1 + α
A
−1 u, u
1 + β
A
−1 v, v
− αβ
A
−1 u, v
2 =
s, y
B −1 y, y
·
Par suite
(Y
∗ )
−1 = A
−1
−
1
d
β(1 + α
A
−1 u, u
A
−1 vv
A
−1
− αβ
A
−1 u, v
A
−1 vu
A
−1 + A
−1 uv
A
−1
= B −
ys B + Bsy
y, s
+
Bs + y, s
(s, y)
2 yy
,
ce qui n’est autre que X ∗ .
Démontrons la définie positivité de X ∗ en montrant la définie positivité
de Y ∗ = (X ∗ ) −1 . Pour cela, soit x non nul dans R n et considérons Y ∗ x, x .
On a :
Y
∗ x, x =
B
−1 x, x
+
(s, x) 2
s, y
−
(
B −1 y, x
) 2
B −1 y, y
·
En posant ξ := B −1/2 x et ζ := B −1/2 y, la formulation ci-dessus devient
Y
∗ x, x =
ξ 2 ζ 2 −(ξ, ζ) 2
ζ 2
+
(s, x) 2
s, y
·
Il est clair à présent (grâce à l’inégalité de Schwarz ξ, ζ ξ · · ζ )
que Y ∗ x, x 0. Sachant que Y ∗ est inversible, cela suffit à démontrer le
caractère de définie positivité de Y ∗ . Faisons-en néanmoins une démonstration
directe.
Si le 1 er terme dans l’expression de Y ∗ x, x s’annule, c’est qu’il existe
α = 0 tel que ξ = αζ (cas d’égalité dans l’inégalité de Schwarz), soit encore
x = αy. Mais alors s, x = α s, y et le 2 e terme dans l’expression de Y ∗ x, x
est α 2 s, y > 0. Donc Y ∗ x, x > 0.
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(A + αuu + βvv ). Dans le but d’appliquer le résultat de la 5 e question de
l’Exercice I.8, nous évaluons les expressions suivantes :
1 + α
A
−1 u, u
= 1 +
Bs, s
y, s
,
rappelons que
y, s = W −1 s 2 > 0
1 + β
A
−1 v, v
= 0,
d :=
1 + α
A
−1 u, u
1 + β
A
−1 v, v
− αβ
A
−1 u, v
2 =
s, y
B −1 y, y
·
Par suite
(Y
∗ )
−1 = A
−1
−
1
d
β(1 + α
A
−1 u, u
A
−1 vv
A
−1
− αβ
A
−1 u, v
A
−1 vu
A
−1 + A
−1 uv
A
−1
= B −
ys B + Bsy
y, s
+
Bs + y, s
(s, y)
2 yy
,
ce qui n’est autre que X ∗ .
Démontrons la définie positivité de X ∗ en montrant la définie positivité
de Y ∗ = (X ∗ ) −1 . Pour cela, soit x non nul dans R n et considérons Y ∗ x, x .
On a :
Y
∗ x, x =
B
−1 x, x
+
(s, x) 2
s, y
−
(
B −1 y, x
) 2
B −1 y, y
·
En posant ξ := B −1/2 x et ζ := B −1/2 y, la formulation ci-dessus devient
Y
∗ x, x =
ξ 2 ζ 2 −(ξ, ζ) 2
ζ 2
+
(s, x) 2
s, y
·
Il est clair à présent (grâce à l’inégalité de Schwarz ξ, ζ ξ · · ζ )
que Y ∗ x, x 0. Sachant que Y ∗ est inversible, cela suffit à démontrer le
caractère de définie positivité de Y ∗ . Faisons-en néanmoins une démonstration
directe.
Si le 1 er terme dans l’expression de Y ∗ x, x s’annule, c’est qu’il existe
α = 0 tel que ξ = αζ (cas d’égalité dans l’inégalité de Schwarz), soit encore
x = αy. Mais alors s, x = α s, y et le 2 e terme dans l’expression de Y ∗ x, x
est α 2 s, y > 0. Donc Y ∗ x, x > 0.
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