III.4. Conditions de minimalité du second ordre
c) l ∗ étant injective (puisque l est surjective), il n’y a qu’un u ∈ R n répondant à la question. On vérifie que
u := 2
y − Bs
s 2 −
y − Bs, s
s 4 s
fait l’affaire. La matrice X qui s’ensuit vérifie bien Xs = y (c’est facile à
vérifier) ; c’est donc la solution de (P).
3 ◦ ) a) Le problème (Q) consiste à minimiser
1
2 W XW − W BW 2 parmi
les X ∈ S n (R) vérifiant (W XW )(W −1 s) = W y.
En posant B := W BW, s := W −1 s, y := W y, et en faisant le changement de variable X := W XW, le problème (Q) est équivalent à :
Q
Minimiser
1
2
X
− B
2 parmi les X
∈ S n (R) vérifiant X
s
= y
.
D’après le résultat de la question précédente, la solution de (Q’) est fournie
par
X
= W BW +
W (y − Bs)s W −1 + W −1 s(y − Bs) W
W −1 s 2
−
W (y − Bs), W −1 s
W −1 s 4
W
−1 ss
W
−1 ;
par suite, la solution du problème (Q) est X ∗ = W −1 (X
)W −1 , soit
X
∗ = B +
(y − Bs)s W −2 + W −2 s(y − Bs)
W −1 s 2
−
W (y − Bs), W −1 s
W −1 s 4
W
−2 ss
W
−2 .
Mais puisque W y = W −1 s et que W est symétrique, on a :
W
−2 s = y, W
−1 s
2 =
W
−1 s, W
−1 s
=
W y, W
−1 s
= y, s ,
W (y − Bs), W
−1 s
= y − Bs, s .
D’où l’expression annoncée de X ∗ .
b) Partons de Y
∗ := B
−1 +
ss
y, s
−
B −1 yy B −1
B −1 y, y
et posons A := B −1 ,
u := s, v := B −1 y, α :=
1
y, s
et β := −
1
B −1 y, y
; nous avons donc à inverser
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