III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Commentaire : – Prolongement de l’exercice : on peut montrer, dans l’esprit de
l’exercice précédent, qu’il y a un et un seul ellipsoïde contenu dans P de volume
maximal.
– Autre prolongement : Montrer qu’il existe un et un seul ellipsoïde E contenant
P de volume minimal.
*** Exercice III.23. Soit B ∈ S n (R), s et y dans R n , s = 0. On considère le
problème de minimisation suivant :
(P)
Minimiser
1
2
X − B
2 parmi les X ∈ S n (R) vérifiant Xs = y,
où · · désigne la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel ·, · ·
sur S n (R) (rappel : U, V = tr(UV )).
1 ◦ ) Soit l : S n (R) → R n définie par l(X) := Xs.
a) Vérifier que l est linéaire surjective.
b) Déterminer l’application linéaire adjointe l
∗ de l (rappel : l
∗ : R n → S n (R)
est définie par l (X), u = X, l
∗ (u) pour tout X ∈ S n (R) et u ∈ R n ).
2 ◦ ) a) Indiquer pourquoi le problème (P) a une et une seule solution.
b) Montrer que X ∈ S n (R) est solution de (P) si et seulement si :
(L)
⎧
⎨
⎩
Xs = y ;
∃ u ∈ R n tel que X − B =
us + su
2
·
c) Vérifier que X := B +
(y − Bs)s + s(y − Bs)
s 2
−
y − Bs, s
s 4 ss
est la
solution de (P).
3 ◦ ) On suppose ici qu’il existe W ∈
◦
P n (R) telle que W y = W −1 s, et on
considère le problème de minimisation suivant :
(Q) Minimiser
1
2 W (X − B)W 2 parmi les X ∈ S n (R) vérifiant Xs = y.
a) Montrer que la solution X ∗ de (Q) est donnée par
X
∗ := B +
(y − Bs)y + y(y − Bs)
y, s
−
y − Bs, s
(y, s)
2 yy
.
b) On suppose de plus que B est inversible. Montrer que X ∗ est inversible et
(X
∗ )
−1 = B
−1 +
ss
y, s
−
B −1 yy B −1
B −1 y, y
·
En déduire que X ∗ est définie positive lorsque B est définie positive.
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