Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Solution : 1 ◦ ) L’inclusion E ⊂ {x ∈ R n | |a i , x b i } se traduit par
a i , c + Bu b i pour tout u vérifiant u 1 ;
ce qui équivaut à
a i , c + sup
u1
a i , Bu b i
soit encore, puisque B = B et que sup u1 v, u = v
a i , c + Ba i b i .
Soit g i : R n × S n (R) → R la fonction qui à (c, B) ∈ R n × S n (R) associe g i (c, B) := a i , c + Ba i − b i . Il est immédiat que g i est convexe
(d’accord ?). Donc l’inclusion E ⊂ P équivaut au jeu d’inégalités convexes
g i (c, B) 0 pour tout i = 1, . . . , m.
2 ◦ ) Soit
◦
P n (R) l’ouvert convexe de S n (R) constitué des B ∈ S n (R) qui
sont définies positives. La fonction
f : B ∈
◦
P n (R) −→ f (B) := − ln(dét B)
est convexe (strictement convexe même) sur
◦
P n (R) (cf. Exercice I.13 par
exemple).
Le volume de l’ellipsoïde décrit comme en (3.13) est dét B, à une constante
multiplicative près (fixe, indépendante de B ; c’est le volume de la boule-unité
fermée de R n ). Maximiser dét B équivaut à maximiser ln(dét B), ou encore à
minimiser − ln(dét B).
Le problème de la recherche d’un ellipsoïde E (décrit comme en (3.13))
contenu dans P de volume maximal se formalise donc en le problème de minimisation convexe suivant (posé dans R n × S n (R)) :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Minimiser f (B) = − ln(dét B)
B ∈
◦
P n (R),
g i (c, B) 0 pour tout i = 1, . . . , m.
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