Considérons les vecteurs-individus Y 1 , . . . , Y n . Pour tout k, leurs coordonnées d’indice k constituent la k-ième colonne de M et comme les caractères sont centrés, on
a y 1k + y 2k + · · · + y nk = 0. Ainsi Y 1 + Y 2 + · · · + Y n = 0, autrement dit :
le nuage des individus Y 1 , . . . , Y n a pour centre de gravité l’origine.
1
1
un nuage dans le plan
0.4
0.4
le nuage centré
1
1
nuage centré
après normalisation
Nous considérons maintenant le nuage des individus Y 1 , . . . , Y n dans l’espace R
p .
Projection du nuage des individus
Si par exemple chacun des deux premiers caractères est à peu près le même pour tous
les individus, tout le nuage d’individus se projette à peu près en un même point dans
le plan des deux premières coordonnées de R
p : moins le nuage est dispersé dans un
plan de caractères, plus les individus se ressemblent pour les caractères considérés.
R
p
O
Y i
c 1
c 2
c p
ˆ
Y i
P
On cherche à projeter orthogonalement le nuage sur un plan P
de R
p de manière à perdre le moins d’information possible sur la
forme du nuage. Appelons ˆ
Y i le projeté de Y i . Selon la méthode
des moindres carrés, il s’agit de trouver P pour que la somme
n
i=1 Y i − ˆ
Y i
2 soit minimale.
D’après le théorème de Pythagore, on a Y i
2 = ˆ
Y i
2 +Y i − ˆ
Y i
2 : il
revient donc au même de rendre maximum la somme s=
p
i=1 ˆ
Y i
2 ,
c’est-à-dire la dispersion des projetés.
La matrice des covariances. Soit U un vecteur-colonne unitaire dans R
p . Pour
tout vecteur Y ∈ R
p , le projeté orthogonal de Y sur la droite engendrée par U est
p(Y ) = (Y · U )U et l’on a p(Y ) = |Y · U |. Puisque Y · U = (
t Y )U = (
t U )Y , il vient
(∗)
s =
n
i=1
|Y i · U |
2 =
n
i=1
(
t U )Y i (
t Y i )U = (
t U )
n
i=1
Y i (
t Y i )
U
Puisque Y i est un vecteur-colonne de R
p , la matrice Y i
t Y i est carrée de taille p.
Par exemple, dans le cas de deux caractères et de trois individus
t Y = [ y 1 y 2 ],
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 231