2 • Exemples de groupes
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3) Soit H un sous-groupe strict de lU p oo . Démontrer que l'ensemble des ordres des éléments
de H est fini, et en déduire que H est un des lU p ".
4) Démontrer que le quotient de lU p oo par lU pk est isomorphe à lU p oo .
5) Trouver un autre modèle (additif) du p-groupe de Prüfer.
6) Examiner l'ensemble des endomorphismes de 1U 1 ,oo .
7) Regardons maintenant un autre exemple de groupe construit suivant le même principe. On
note ScN> le groupe formé des bijections O' de N* telles que O'(i) = i pour tout i suffisamment
grand. Démontrer que S < N > est un groupe.
8) Pour chaque n, on considère l'ensemble des O' de S < N > telles que :
Vi > n, O'(i) = i
Montrer que cet ensemble est un groupe isomorphe à S, ,, que l'on notera encore S 11 • Vérifier que ScN> est l'union des S,, .
9) Montrer que l'on peut « prolonger» la signature et définir un groupe alterné A < N > normal
dans ScN> · Montrer que c'est un groupe simple.
10) Soit K le sous-groupe de S < N > engendré par les transpositions T; = (2i - 1, 2i), pour i E N*.
Le décrire et vérifier qu'il est commutatif.
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