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Théorie des groupes
2.5 PROBLÈMES
2.5.1 Les sous-groupes d'un produit
Soit G = H x K, muni de la structure de produit direct. Dans ce problème, on recherche tous
les sous-groupes de G. On conviendra d'identifier H avec le sous-groupe de G qui s'écrit
H x {1}, de même pour K.
1) Soit L un sous-groupe de G. Si p 1 et p 2 sont les deux projections, on note :
L 1 = Ln H, C i = Pi (L)
Démontrer que :
et
2) Montrer que :
Ci /L 1 ':::! C2/L2
3) On étudie maintenant une réciproque. Soient quatre groupes L 1 , Ci , L2, C 2 tels que:
et
et tels qu'il existe un isomorphisme 0:
Montrer qu'on peut alors construire un sous-groupe L de G tel que les quatre groupes
L 1 , C 1 , L 2 , C 2 soient issus de L comme dans la première question.
4) Dans la situation précédente, quand un sous-groupe de G est-il rectangle?
5) Applications. Vérifier les résultats obtenus dans l'exercice 2. 1.11 sur les sous-groupes de
Z/4 x Z/4. Que peut-on dire des sous-groupes de Z/p x Z/p lorsque p est premier?
6) Rechercher les sous-groupes de :
a) Z X Z
b) Z/2 x Z/6
c) S 3 x S 3
2.5.2 Les groupes de Prüfer
Soit p un nombre premier. On note 1!.J,, l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité (dans le
corps des nombres complexes C).
1) Rappeler pourquoi 1!.J,, est un groupe pour le produit.
2) On appelle p-groupe de Prüfer l'ensemble
1lJ p
= = u 1lJ p k
k=O .. oo
Vérifier que c'est un groupe pour le produit et que les 1!.J,1 forment une suite croissante de
sous-groupes.
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