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Préface
vii
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1 . Introduction
1
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1.1. Introduction
1
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1.2. Le prétexte
2
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1.3. Explicitation
3
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1.4. Le critère d'équirépartition de Weyl
8
...................................................
1.5. Motivation 1 : le crible
10
....................................
1.6. Motivation II : les formes modulaires
15
.........................
2 . Préparatifs pour le théorème des nombres premiers
19
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2.1. Séries de Dirichlet
19
............................
2.2. Fonctions sommatoires et séries de Dirichlet
29
............................
2.3. Séries de Dirichlet et fonctions sommatoires
30
.....................................
2.4. Caractères de groupes abéliens finis
39
...................................
2.5. La formule de sommation de Poisson
44
................................................
2.6. Fonctions L de Dirichlet
46
.................................................
Appendice : produits infinis
52
..........................................
3 . Le théorème des nombres premiers
55
............................................................
3.1. Introduction
55
3.2. Le prolongement analytique des fonctions L de Dirichlet ............... 56
3.3. Les zéros des fonctions L de Dirichlet ................................... 62
.....................................
3.4. Le théorème des nombres premiers
' 78
Appendice : résultats d'analyse complexe .................................... 84
4 . Discussion du théorème des nombres premiers .............................. 87
4.1. L'Hypothèse de Riemann Généralisée ................................... 8' 7
4.2. Problèmes d'uniformité : exemple ...................................... 95
4.3. Le théorème de Siegel-Walfisz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
...................................
4.4. Le théorème de Bombieri-Vinogradov
101
.........................................
4.5. L'inégalité de Brun-Titchmarsh
102