NOTATIONS ET CONVENTIONS
(paragraphes 1 à 7)
Corps & base
Dans tout ce fascicule, la lettre K désigne, soit le corps valué R des
nombres réels soit le corps valué C des nombres complexes, soit un corps
valué complet commutatif non discret à valeur absolue ultramétrique
(Top. Gén., ch. IX, 3*"' a., § 3).
Lorsque K est différent de R ou C, nous appellerons semi-norme
(resp. norme) sur un espace vectoriel F sur K une ultra-semi-norme (resp.
une ultra-semi-norme qui est une norme) sur F (Esp. Vect. Top., ch. II;
2' éd., $1). Si y est une semi-norme sur F, et si x e F, on écrira parfois
Il x 11, au lieu de y(x).
On appellera espace normable un espace vectoriel topologique sur K
dont la topologie peut être définie par une seule norme, et espace dc Banach
un espace normable complet ' . On appellera espace polynormé un espace
vectoriel topologique sur K dont la topologie peut être définie par une
famille de semi-normes; lorsque K = R ou C, cette notion coïncide avec
celle d'espace localement convexe.
Si E et F sont des espaces polynormés, on notera 4pm(E; F) l'espace
des applications m-linéaires continues de Em dans F, muni de la topologie
de la convergence uniforme sur les parties bornées de Em; c'est un espace
polynormé. Si de plus E est normé, et si y est une semi-norme continue
sur F, et si u E -Y,,, (E ; F), on note llull,. la borne inférieure des nombres
réels a 3 O tels que
' Cette définition diffère de celle donnée dans Esp. Vect. Top, ch. I, 5 1, où l'on appelle
espace de Banach un espace normi complet.