288
Recherche opérationnelle
11.2. SYSTEME OUVERT A PLUSIEURS STATIONS. ARRIVEES
POISSONNIENNES ET SERVICE EXPONENTIEL
Dans le cas de plusieurs stations, un problème théorique se pose dans la mesure où
l'évolution du système dépend a priori des choix effectués par les clients et leur file
d'attente.
Nous supposerons ici que chacune des stations est caractérisée par un service
exponentiel de taux identique.
Dans ce cas, c'est-à-dire arrivées poissonniennes et service exponentiel de taux égal pour
toutes les stations, on verra que ce problème ne se pose pas si l'on utilise la méthode
différentielle.
11.2.1. Equation d'état du système
De la même façon que précédemment, considérons la variable aléatoire
représentant le nombre de clients dans le système à l'instant
]
=
)
(
[
=
)
(
n
t
N
p
t
p n
Si
à l'instant nous dirons que le système est dans l'état
Nous désignerons par le nombre de stations. A un instant quelconque, nous pouvons
avoir les deux situations suivantes :
-
Les
clients dans le système sont en train de se faire servir ; il y a
inoccupées. On peut alors considérer que, chaque client étant
servi suivant un service exponentiel de taux
la superposition de ces
services conduit à un service global exponentiel de taux
c'est-à-dire que la
probabilité qu'un client sorte du système entre
est égale à
Ce
résultat provient du fait que la somme de variables poissonniennes
indépendantes est une variable poissonnienne, dont le taux est égal à la somme
des taux des variables initiales.
-
. Il y a clients en instance de sortie du système. Le résultat est analogue
à celui dégagé pour le cas précédent. Mais ici, le taux global de service est
c'est-à-dire que la probabilité pour qu'un client sorte entre
est égale
à
Dans ces conditions, comme pour le cas à une station, les seules transitions
envisageables entre
est infiniment petit sont :