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Recherche opérationnelle
Posons :
(9)
=
1
=
ij
ij
m
j
i
r
P
q
est l'espérance de gain sur la période
si l'on se trouve en
à la date
Appelons le vecteur colonne
Définissons maintenant une autre notion. Supposons que varie de à , c'est-à-dire
que le nombre de phrases du processus est
Appelons
l'espérance de gain entre la date et la date finale si l'on se trouve en
l'état à la date
représente le gain associé au fait d'être en l'état
à la date finale
(
est
souvent nul si l'on se contente des gains de transition ).
Etablissons facilement une relation de récurrence. On a en effet :
1)]
(
[
=
)
(
1
=
t
V
r
P
t
V
j
ij
ij
m
j
i
1)
(
=
)
(
1
=
t
V
P
q
t
V
j
ij
m
j
i
i
si l'on définit le vecteur colonne
on a :
si est la matrice stochastique des
La formule (10) permet de calculer tous les
à partir du moment où l'on dispose des
On voit que pour cela, on décrit le temps à l'envers, en partant de l'état
final. On a alors l'espérance de gain au début du processus donné par :
)
(
]
...
[
=
(0)
1
N
V
M
q
M
M
I
V
N
N
On voit qu'en général, si
augmente indéfiniment, les composantes du vecteur
c'est-à-dire les espérances de gain total augmentent également indéfiniment. C'est
pourquoi l'on préfère prendre en compte un autre critère, qui est l'espérance de gain par
période ou phase, égale à :
N
V
g
(0)
=
(12)
)
(
]
...
[
1
=
1
N
N
V
M
q
M
M
I
N
g
N
N