Généralités sur la programmation linéaire
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Figure 1
Un point M quelconque du plan représente une production qui n'est peut être pas
réalisable. Pour qu'elle le soit, il faut d'abord que x 1 ≥0 et x 2 ≥ 0 donc que l’on se limite
au quadrant nord-est du plan. Ensuite, il s'agit de représenter les autres contraintes du
système d'inéquation (a).
Pour cela traçons les trois droites
x 1 + 3x 2 = 450
(I)
2x 1 + x 2 = 350
(II)
x 1 + x 2 = 200
(III)
Il est clair que ces trois droites délimitent un domaine D, hachuré sur la figure 1, qui
représente l'ensemble des solutions possibles compte tenu des contraintes (a) et (b). Il
s'agit du polygone convexe OABCD dont chaque sommet est donné par l'intersection de
deux droites parmi les cinq qui déterminent les contraintes (A par exemple, est
l'intersection de x 1 = 0 et de x 1 +3x 2 = 450).
Il s'agit donc de trouver le point (ou les points) de D tel que la fonction 4000 x 1 + 8000x 2
soit maximale en ce point, ou, ce qui est la même chose, tel que la fonction x 1 + 2x 2
soit maximale.
Pour ce faire, il suffit de se souvenir que la distance de 0 à la droite ax 1 + bx 2 = c est
donnée par la quantité :
2
2
0
2
0
1
2
2
b
a
bx
ax
b
a
c
si le point (
est un point quelconque de la droite.
B
E
C
( )
( 0)
150
100
50
125
0
175
50
100
150
200
(I)
x2
x1
A
D