Chapitre 1 • Structures ordonnées Applications des treillis
10
La figure 1.6 repré sente un hyper cube, qui n’est autre que le dia gramme de Hasse
d’une algèbre de Boole à deux géné ra teurs, a et b, dif fé rents de 0 et 1. Elle comporte
2
4
= 16 élé ments. Les élé ments diagonalement oppo sés sur la figure sont le complé
ment l’un de l’autre. Ainsi : a ` b et a ~ b , a ~ b et a ` b, etc. Plus généralement
une algèbre de Boole avec m atomes comporte 2
m
éléments.
Figure 1.6
Noter que : D 5 1 a ` b ~ 1 a ` b2 5 1 a ~ b 2 ` 1 a ~ b 2 désigne la somme dis -
jonc tive (ou « dif fé rence symé trique ») de a et b : D 5 a { b ;
D 5 (a ~ b) ` 1 a ~ b 2 5 1 a ` b2 ~ 1 a ~ b 2 est le complé ment de D.
Comme toute algèbre de Boole finie, l’algèbre à deux géné ra teurs est ato mique.
Ses atomes, ou élé ments qui couvrent 0 (c’est àdire sont immé dia te ment supé rieurs
à 0) sont a ` b, a ` b, a ` b et a ` b.
Le théo rème de Stone, dont la démons tra tion n’est pas immé diate
1
énonce que tout
algèbre de Boole est isomorphe à un « corps d’ensembles » (cf. NB ci- dessous).
Ainsi, à l’algèbre de Boole de la figure 1.6, on peut faire cor res pondre le schéma
de la figure 1.7. On sup pose que a 2 b et a ` b 2 0.
Alors appa raissent clai re ment sur la figure, dont le carré
repré sente l’uni vers U, les « régions » A d B, A d B, A d B et
A d B, cor res pon dant aux atomes a ` b, a ` b, a ` b et a ` b.
NB : On appelle « corps d’ensembles » une famille de par ties
d’un ensemble, munie des opé ra tions ensemblistes clas siques
(réunion, inter jec tion, complémentation) ; dans le cas d’un ensemble fini E, la famille de ses par ties p(E) consti tue le corps
d’ensembles. Notons que l’algèbre de Boole de la figure 1.5
est isomorphe au treillis des divi seurs de tout entier de la forme
1. Voir : R. FAURE et E. HEURGON, Struc tures ordon nées et algèbre de Boole, Gauthier Villars,
1971.
Figure 1.7
U
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La figure 1.6 repré sente un hyper cube, qui n’est autre que le dia gramme de Hasse
d’une algèbre de Boole à deux géné ra teurs, a et b, dif fé rents de 0 et 1. Elle comporte
2
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= 16 élé ments. Les élé ments diagonalement oppo sés sur la figure sont le complé
ment l’un de l’autre. Ainsi : a ` b et a ~ b , a ~ b et a ` b, etc. Plus généralement
une algèbre de Boole avec m atomes comporte 2
m
éléments.
Figure 1.6
Noter que : D 5 1 a ` b ~ 1 a ` b2 5 1 a ~ b 2 ` 1 a ~ b 2 désigne la somme dis -
jonc tive (ou « dif fé rence symé trique ») de a et b : D 5 a { b ;
D 5 (a ~ b) ` 1 a ~ b 2 5 1 a ` b2 ~ 1 a ~ b 2 est le complé ment de D.
Comme toute algèbre de Boole finie, l’algèbre à deux géné ra teurs est ato mique.
Ses atomes, ou élé ments qui couvrent 0 (c’est àdire sont immé dia te ment supé rieurs
à 0) sont a ` b, a ` b, a ` b et a ` b.
Le théo rème de Stone, dont la démons tra tion n’est pas immé diate
1
énonce que tout
algèbre de Boole est isomorphe à un « corps d’ensembles » (cf. NB ci- dessous).
Ainsi, à l’algèbre de Boole de la figure 1.6, on peut faire cor res pondre le schéma
de la figure 1.7. On sup pose que a 2 b et a ` b 2 0.
Alors appa raissent clai re ment sur la figure, dont le carré
repré sente l’uni vers U, les « régions » A d B, A d B, A d B et
A d B, cor res pon dant aux atomes a ` b, a ` b, a ` b et a ` b.
NB : On appelle « corps d’ensembles » une famille de par ties
d’un ensemble, munie des opé ra tions ensemblistes clas siques
(réunion, inter jec tion, complémentation) ; dans le cas d’un ensemble fini E, la famille de ses par ties p(E) consti tue le corps
d’ensembles. Notons que l’algèbre de Boole de la figure 1.5
est isomorphe au treillis des divi seurs de tout entier de la forme
1. Voir : R. FAURE et E. HEURGON, Struc tures ordon nées et algèbre de Boole, Gauthier Villars,
1971.
Figure 1.7
U