1.1 Notions sur les struc tures ordonnées
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De ce fait, grâce à 7, le crochet est égal à y ` 1 x ~ z 2 et cette expres sion
devient :
x ~ 3 (y ` (x ~ z) 4
Rem pla çons x par sa valeur d’après 4r ; l’expression devient :
3x ` 1 x ~ z 4 ~ 3 1 y ` 1 x ~ z 2 4 ;
il vient alors, en appli quant 7 :
1 x ~ y2 ` 1 x ~ z 2 (par distributivité).
et c’est pré ci sé ment le deuxième membre de 7r, qu’il fal lait obte nir par un
cal cul fondé sur les seuls axiomes 1 à 7 et 1r à 6r.
2. Dans un treillis dis tri bu tif, la complémentation est unique.
Rai son nons par l’absurde et sup po sons que l’élé ment x ait deux complé ments
dif fé rents, x et x* ; on aurait :
x ~ x 5 x ~ x* 5 U
et
x ` x 5 x ` x* 5 n, avec x 2 x*
On peut écrire :
x 5 x ` U 5 x ` 1 x ~ x*2 5 1 x ` x2 ~ 1 x ` x*2
5 n ~ 1 x ` x*2 5 x ` x*,
De même :
x* 5 x* ` U 5 x* ` (x ~ x) 5 (x* ` x) ~ (x* ` x)
5 n ~ (x* ` x ) 5 x* ` x 5 x ` x*
Fina le ment x 5 x*, contrai re ment à l’hypo thèse et ainsi la complémentation
est unique.
d) Un treillis à la fois dis tri bu tif et complémenté est appelé treillis de Boole. Il est
isomorphe à une algèbre de Boole.
Une algèbre de Boole B est donc un ensemble par tiel le -
ment ordonné, doté d’un élé ment nul et d’un élé ment uni ver ­
sel, dont les élé ments véri fient les axiomes 1 à 4; 1r à 4r ; 6,
6r et 7 (et donc aussi 7r).
La rela tion d’ordre est défi nie par l’une des quatre rela ­
tions équi va lentes sui vantes :
5*. x a y équi vaut à x ` y 5 x ou x ~ y 5 y ou
x ` y 5 0 ou x ~ y 5 1
0 et 1 dési gnant, res pec ti ve ment, n et U.
Une algèbre de Boole comportant un seul géné ra teur a,
dif fé rent de 0 et de 1, comporte quatre élé ments (fig. 1.5).
Figure 1.5