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68
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.4.2
Exercices 1.4.5 à 1.4.7.
Un produit fini de parties complètes
est complet.
Schématiquement :
1) X complète =} X fermée
X fermée 1
2) XC Y
=}X complète.
Y complète
Parties complètes
On dit qu'une partie A de E est complète si et seulement si toute suite de Cauchy
d'éléments de A converge dans A.
On dit que E est complet si et seulement si E est une partie complète de E.
1
~n appelle espace de Banach tout IK-evn complet.
_ j
Remarque: Si N 1 ~ N 2 et si (E,N 1 ) est complet, alors (E,N 2 ) est complet.
Cas d'un produit fini d'evn
Soient NE N*,E 1 , .. . , EN des IK-evn, pour chaque k de
N
{1, ... ,N}, Ak une part~
N
complète de Ek ; alors n Ak est une partie complète de
k=I
n Ek.
J
k=I
.
Preuve
N
Soit (xn )neN une suite de Cauchy dans fl Ak ; pour chaque n de N, notons (x 1 ,n, . .. ,x N ,n) = x,,.
k= I
Comme : 'Vk E (1, ... ,N}, 'V(p,q) E N 2 , d(xk ,p.Xk,q ) ~ v(xp - xq), on voit que chaque
(xk ,n)neN(k E (1, ... ,N)) est de Cauchy dans Ak. donc converge vers un élément h de Ak. Alors
Xn ---+(11, ... .lN) (cf. 1.1.9 1) Prop. 2 p. 32).
1100
1) Toute partie complète X de E est fermée.
2) Soient X, Y deux parties de E telles que X c Y ; si Y est complète et X fermée,
alors X est complète.
Preuve
1) Soient X une partie complète de E, et (x,, ) 11 eN une suite dans X , convergeant vers un élément l de E.
Puisque (x,,) 11 eN converge, (x,, )neN est de Cauchy (cf. l.4.1 Prop. 2 p. 67) ; comme X est complète,
(x,,)n eN converge dans X.
On a donc l E X. Ceci prouve que X est fermée (dans E).
2) Soient X, Y deux parties de E telles que X c Y, Y complète et X fermée (dans E).
Soit (x,,),, eN une suite de Cauchy dans X. Puisque X c Y et que Y est complète, (x,, )n eN converge vers
un élément l de Y (donc de E). Comme X est fermée, on a alors l E X. Finalement, X est complète.
Si E est un espace de Banach, on a, pour toute partie X de E :
X fermée <==:::} X complète.
Toute partie compacte d'un evn est complète.
J