\ 1 La réciproq~e va être étudiée dans le
\....:.-' § 1.4.2 c1-apres.
g Cf.1.1.1 3) b) p.8.
Pour qu'une suite dans un produit
cartésien soit de Cauchy, il faut et il suffit
que chaque suite composante soit de
Cauchy.
1.4 • Complétude
Toute suite de Cauchy dans E est bornée.
Preuve
Soit (un)neN une suite de Cauchy dans E. Tl existe N E N tel que :
En particulier: Vr E N ,d (u N+ 1+r,UN+ 1) ~ 1, et donc: "Ir EN, ll u N+1 +r l I ~ 1 + ll u N+ il 1.
En notant M = Max(l luo l I, ... , llu N Il, llu N+ il 1 + 1), on a alors: Vn E N, l lun 11 ~ M ;
(un)neN est bornée.
•
Toute suite convergente dans E est de Cauchy.
Preuve
Soit (un)neN une suite convergeant vers un élément l de E.
Soit e > 0 ; il existe NE N tel que: Vn E N,
Alors :
({
>- N
l d(u p ,l) ~ ~
)
V(p ,q) E N
2 ,
; ; N ==>
; ==> d (up ,uq ) ~ d(up,l) +d(l ,uq ) ~ ê
d(uq,l) ~ 2
et donc (Un) 11 EN est de Cauchy dans E.
Cas d'un produit fini d'evn
N
Soient N E N*, E1 , .. . , EN des IK-evn, P = n Ek muni de la norme v définie par:
k=l
v(x1, ... ,XN )= Max llxkllEk
1, ; ; , _k, ; ; , _ N
Soient (un)n EN une suite dans P, et, pour chaque n de N, notons
(u1 ,n,- - - ,UN, n) =UnPour que (u 11 )n EN soit de Cauchy dans P, il faut et il suffit que, pour chaque k de
{l, ... ,N}, (uk,n)n EN soit de Cauchy dans Ek.
Preuve
Résulte aisément de
•
1.4.1 Soient (E, 11 -11) un evn, (u.) 11 er; une suite de Cauchy
dans E , a , r deux extractrices. Montrer:
1.4.2 Soient E ,F deux evn, XE 'iJ(E),f : X--+ F une
application telle que, pour toute suite de Cauchy (xn)neN
dans X ,(f(x 11 ))n eN soit de Cauchy dans F . Montrer que f
est continue.
Ua (n ) - U r (n) ---+ Ü.
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