-0
0
c
:J
0
("(')
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
2e méthode
Si (x,y) convient, alors x ,y sont de cla sse c 2 et
1
X
11 = y' + 2t = X - t 2 + 2t.
y" = x' - 2t = y + t 2 - 2t
Résoudre ces deux ED linéaires scalaires du 2e ordre à coefficients constants (cf. Analyse MPST, 10.2.3 Théorème), puis
étudier la réciproque.
Réponse:
1
x(t) =À e
1 - µ e1
+ t 2 - 2t + 2,
y(t) =À e
1 + µ e1 - t 2 + 2t - 2
(>.. ,µ) E IR 2 .
b) A= ( -
2
- 1
-~) est diagonalisable dans M 1 (IR),
A= PDP - 1
p - 1 = ~ ( 1
5 - 1
Réponse:
où
D=(-~ ~). P=(~
~).
l
x(t) = t 2 + t + 4À e - 3 1 - µ e 21
1 2
3
2 '
(À, µ ) E IR2.
y(t) = - - t +À e1 + µ e
1
2
-1)
1 '
c) En notant z = x + iy , le système différentiel proposé se
ramène à l'ED linéaire z' = (1 - im)z +(a+ ib )t, dont la
solution générale est
a+ ib
a+ ib
l ·
Z: t 1--+ - - - . - t -
+À eC - i m)t , À E C.
l - 1m
(l-im)2
Réponse:
x(I ) = - - -
2
1 -
2 2
e
1 ( A COS/Ill + B sinml)
l + m
( l + m )
l
a- bm
a(l-m 2 ) -2bm
b +am
b( 1 - 111 2 ) + 2am
'
y(I) = - - - 2 1 -
2 2
+ e' ( B COS/Il/ - A s inml) .
1 + m
( 1 + m )
(A,B) E IR 2 .
d) La matrice A = (
1
- 1 3 1) a pour po lynôme caractéristique XA : À 1--+ (À - 2) 2 . Le SEP associé à la valeur
propre 2 est de dimension 1, engendré par V1 = ( ~). On va
donc trigonaliser A.
Chercher V2 = ( ~ ) pour que A V2 = V1 + 2V2 .
On peut prendre V2 = ( ~) .
Ains i : A= PTP -
1
, où T = (~ ~) . P = c ~) .
p - 1 = ( -~ ~)
En notant X = ( ~ ) , Y = p - l X = ( ~) , le système
différentiel proposé se ramène à :
{
u' = 2u + v + sin t
v' = 2v - sint
(1 )
(2)
Résoudre (2), puis reporter dans ( 1). On obtient ainsi :
1
u(t) = _ 2_(9 cost + 13 sin t) + >..t e2
1 + µ e2
1
25
1
,
v(t) = S (cos t + 2 sin t) + >..e2 1
(>..,µ) E IR 2
Revenir à x,y par X= PY.
Réponse:
x(t) = -
25
(9 cos t + 13 sin t) + Àt e 21 + µ e 21
1
1
1
,
y(t ) = -
25
(4 cos t + 3 sin t) + >..t e2
1 +(À+ µ)e21
(À,µ) E IR 2 .
e) Réponse:
1
x(t ) ~ (-~1 2 + ( 1 - l)t + (l + 1•))
y(t ) = (~r 2 + >..t - µ) e21 - ~t
21 l
l
e - -t - -
4
4
(À,µ) E IR 2 .
f) Ln mntriœ A ~ G ~ D "' dingonali,.ble dnrn
M 3(1R):
0
A=PDP- 1 , où
- 1
D ~ G
0
~}
- 1
P ~ c
~} p -1 ~ ~ c
- 1
0 - 1
Réponse:
x(t) = ( ~ t + ~ + µ + v) e- 1 + À e2 1
y (t) = (~t + ~ - µ) e1 + À e
21
z(t) = (- ~t + ~ - v) e1 + >.. e
21
- 1
1
- 2
1
}
-2
(À,µ, v) E JR 3 .
g) Ln mnt,;œ A~ ( : 2 - 1
-1)
est diagonal isable dans
- 1
2
M 3(1R) :
D~G
0
D ·
A= PDP - 1 , où
3
0
0
c
:J
0
("(')
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
2e méthode
Si (x,y) convient, alors x ,y sont de cla sse c 2 et
1
X
11 = y' + 2t = X - t 2 + 2t.
y" = x' - 2t = y + t 2 - 2t
Résoudre ces deux ED linéaires scalaires du 2e ordre à coefficients constants (cf. Analyse MPST, 10.2.3 Théorème), puis
étudier la réciproque.
Réponse:
1
x(t) =À e
1 - µ e1
+ t 2 - 2t + 2,
y(t) =À e
1 + µ e1 - t 2 + 2t - 2
(>.. ,µ) E IR 2 .
b) A= ( -
2
- 1
-~) est diagonalisable dans M 1 (IR),
A= PDP - 1
p - 1 = ~ ( 1
5 - 1
Réponse:
où
D=(-~ ~). P=(~
~).
l
x(t) = t 2 + t + 4À e - 3 1 - µ e 21
1 2
3
2 '
(À, µ ) E IR2.
y(t) = - - t +À e1 + µ e
1
2
-1)
1 '
c) En notant z = x + iy , le système différentiel proposé se
ramène à l'ED linéaire z' = (1 - im)z +(a+ ib )t, dont la
solution générale est
a+ ib
a+ ib
l ·
Z: t 1--+ - - - . - t -
+À eC - i m)t , À E C.
l - 1m
(l-im)2
Réponse:
x(I ) = - - -
2
1 -
2 2
e
1 ( A COS/Ill + B sinml)
l + m
( l + m )
l
a- bm
a(l-m 2 ) -2bm
b +am
b( 1 - 111 2 ) + 2am
'
y(I) = - - - 2 1 -
2 2
+ e' ( B COS/Il/ - A s inml) .
1 + m
( 1 + m )
(A,B) E IR 2 .
d) La matrice A = (
1
- 1 3 1) a pour po lynôme caractéristique XA : À 1--+ (À - 2) 2 . Le SEP associé à la valeur
propre 2 est de dimension 1, engendré par V1 = ( ~). On va
donc trigonaliser A.
Chercher V2 = ( ~ ) pour que A V2 = V1 + 2V2 .
On peut prendre V2 = ( ~) .
Ains i : A= PTP -
1
, où T = (~ ~) . P = c ~) .
p - 1 = ( -~ ~)
En notant X = ( ~ ) , Y = p - l X = ( ~) , le système
différentiel proposé se ramène à :
{
u' = 2u + v + sin t
v' = 2v - sint
(1 )
(2)
Résoudre (2), puis reporter dans ( 1). On obtient ainsi :
1
u(t) = _ 2_(9 cost + 13 sin t) + >..t e2
1 + µ e2
1
25
1
,
v(t) = S (cos t + 2 sin t) + >..e2 1
(>..,µ) E IR 2
Revenir à x,y par X= PY.
Réponse:
x(t) = -
25
(9 cos t + 13 sin t) + Àt e 21 + µ e 21
1
1
1
,
y(t ) = -
25
(4 cos t + 3 sin t) + >..t e2
1 +(À+ µ)e21
(À,µ) E IR 2 .
e) Réponse:
1
x(t ) ~ (-~1 2 + ( 1 - l)t + (l + 1•))
y(t ) = (~r 2 + >..t - µ) e21 - ~t
21 l
l
e - -t - -
4
4
(À,µ) E IR 2 .
f) Ln mntriœ A ~ G ~ D "' dingonali,.ble dnrn
M 3(1R):
0
A=PDP- 1 , où
- 1
D ~ G
0
~}
- 1
P ~ c
~} p -1 ~ ~ c
- 1
0 - 1
Réponse:
x(t) = ( ~ t + ~ + µ + v) e- 1 + À e2 1
y (t) = (~t + ~ - µ) e1 + À e
21
z(t) = (- ~t + ~ - v) e1 + >.. e
21
- 1
1
- 2
1
}
-2
(À,µ, v) E JR 3 .
g) Ln mnt,;œ A~ ( : 2 - 1
-1)
est diagonal isable dans
- 1
2
M 3(1R) :
D~G
0
D ·
A= PDP - 1 , où
3
0