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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
d 'où:
xe x
e _, dt -----+ - .
2 f +oo 2 l
x
x~+oo 2
2 f +oo
2
Réponse : 'Vx E]O; +oo[, y(x) = -x ex x
e1 dt.
a) La solution générale de (Ea ) sur ]0; +oo[ est y :
X t-----+ ex (A + fox t" e -
1 dt} A E JR .
Comme t t-----+ t"e1 est intégrable sur ]O; +oo[, on a:
b) Pour tout x de ]0; +oo[, f{ (x) =ex gÀ(x) , où
gÀ(x) = x"e- x +À - i +oo t"e- t dt .
L'application gÀ est de classe C 1 et :
'Vx E]O; +oo[ , g~(x) = a x"- 1 e- x > O.
Donc gÀ est strictement croissante. De plus,
Réponse:
et lim gÀ =À.
+oo
• Si
À ~ 0 ou À ~ fo+oo t"e-t dt , l'équation f{ (x) = 0
(d'i nconnue x E]O; +oo[) n'a aucune solution.
l'équation admet une solution et une seule.
l ) Soit f convenant. En dérivant par rapport à x (pour y fixé),
on obtient :
'V(x,y) E]O; +oo[ 2 , ~ !' (~) = xf'(x).
En particulier :
'Vy E]O; +oo[, yf' (y) = f ' (l).
Il existe donc (À,µ,) E JR 2 tel que :
'Vy E]O; +oo[, f (y) = À ln y+ µ,.
2) Etudier la réciproque.
Réponse : { f : ]0; +oo[----+ JR; À E lR } .
x~À l nx
a) Notons a = Ré(a ) > 0 , g = f' + af.
Résoudre l'ED y'+ ay = g en utilisant la méthode de
variation de la constante. On en déduit qu'il existe À E C tel
que: 'Vx E JR, f(x) = e-ax ( À+ fo x e"
1 g(t) dt).
Soit s > 0 fixé. Puisque g ~ 0, il existe xo E lR+ tel que:
+oo
'Vt E [xo; +oo[,
On a, pour tout x de [xo; +oo[ :
D'autre part, comme e- ax ----+ 0 , il existe X J E [xo; +oo[
x-> +oo
tel que:
'Vx E [x 1; +oo[, e- ax ( 1ÀI + lfoxo e"' g(t) dtl) ~ ~D'où: 'Vx E [x 1; +oo[,
lf(x) I ~ s,
et finalement f (x) ----+ O.
x->+oo
b) Récurrence sur n.
Le cas n = 1 a été vu en a).
Supposons la propriété vraie pour n fi xé, et soient
f : lR -----+ c de classe cn+ I et p E C[X] - {O} unitaire, de
degré n + 1, dont les zéros z 1 , ... , z,,+ 1 sont de parties
réelles < 0 , tel que ( P(D))(f ) ~ O.
+oo
Il
Notons Q = fl (X - Zk) et g = (Q(D))(.f). On a:
k= l
g' - z 11 +1g = (P(D))(f) ~ O.
+oo
D'après a), on déduit g ~ 0 .
+oo
Puis, d'après l'hypothèse de récurrence, comme Q est de
degré n, unitaire, à zéros de parties réelles < 0 , et que
(Q(D))(f) = g ~ 0 , on conclut: f ~O.
+oo
+oo
a) ire méthode
En notant X=(~). A=(~ ~). B(t) = ( -~~ ).
le système différentiel proposé se ramène à :
X' = AX + B .
Diagonaliser A :
A= PDP - 1 , où
D = (~ -~) ,
-1)
1 '
p - 1 = - 1 ( · . 1
2 -1 :).
En notant Y = p- l X = ( ~ ) , on a :
X'= AX + B {:::::::} Y'= DY+ p - l B
{
u' = u
{:::::::} v' = - v - t 2 .
Résoudre ces deux ED linéaires scalaires du 1er ordre, puis
reveniràx,y par X= PY.
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a) La solution générale de (Ea ) sur ]0; +oo[ est y :
X t-----+ ex (A + fox t" e -
1 dt} A E JR .
Comme t t-----+ t"e1 est intégrable sur ]O; +oo[, on a:
b) Pour tout x de ]0; +oo[, f{ (x) =ex gÀ(x) , où
gÀ(x) = x"e- x +À - i +oo t"e- t dt .
L'application gÀ est de classe C 1 et :
'Vx E]O; +oo[ , g~(x) = a x"- 1 e- x > O.
Donc gÀ est strictement croissante. De plus,
Réponse:
et lim gÀ =À.
+oo
• Si
À ~ 0 ou À ~ fo+oo t"e-t dt , l'équation f{ (x) = 0
(d'i nconnue x E]O; +oo[) n'a aucune solution.
l'équation admet une solution et une seule.
l ) Soit f convenant. En dérivant par rapport à x (pour y fixé),
on obtient :
'V(x,y) E]O; +oo[ 2 , ~ !' (~) = xf'(x).
En particulier :
'Vy E]O; +oo[, yf' (y) = f ' (l).
Il existe donc (À,µ,) E JR 2 tel que :
'Vy E]O; +oo[, f (y) = À ln y+ µ,.
2) Etudier la réciproque.
Réponse : { f : ]0; +oo[----+ JR; À E lR } .
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a) Notons a = Ré(a ) > 0 , g = f' + af.
Résoudre l'ED y'+ ay = g en utilisant la méthode de
variation de la constante. On en déduit qu'il existe À E C tel
que: 'Vx E JR, f(x) = e-ax ( À+ fo x e"
1 g(t) dt).
Soit s > 0 fixé. Puisque g ~ 0, il existe xo E lR+ tel que:
+oo
'Vt E [xo; +oo[,
On a, pour tout x de [xo; +oo[ :
D'autre part, comme e- ax ----+ 0 , il existe X J E [xo; +oo[
x-> +oo
tel que:
'Vx E [x 1; +oo[, e- ax ( 1ÀI + lfoxo e"' g(t) dtl) ~ ~D'où: 'Vx E [x 1; +oo[,
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et finalement f (x) ----+ O.
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b) Récurrence sur n.
Le cas n = 1 a été vu en a).
Supposons la propriété vraie pour n fi xé, et soient
f : lR -----+ c de classe cn+ I et p E C[X] - {O} unitaire, de
degré n + 1, dont les zéros z 1 , ... , z,,+ 1 sont de parties
réelles < 0 , tel que ( P(D))(f ) ~ O.
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Il
Notons Q = fl (X - Zk) et g = (Q(D))(.f). On a:
k= l
g' - z 11 +1g = (P(D))(f) ~ O.
+oo
D'après a), on déduit g ~ 0 .
+oo
Puis, d'après l'hypothèse de récurrence, comme Q est de
degré n, unitaire, à zéros de parties réelles < 0 , et que
(Q(D))(f) = g ~ 0 , on conclut: f ~O.
+oo
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a) ire méthode
En notant X=(~). A=(~ ~). B(t) = ( -~~ ).
le système différentiel proposé se ramène à :
X' = AX + B .
Diagonaliser A :
A= PDP - 1 , où
D = (~ -~) ,
-1)
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p - 1 = - 1 ( · . 1
2 -1 :).
En notant Y = p- l X = ( ~ ) , on a :
X'= AX + B {:::::::} Y'= DY+ p - l B
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Résoudre ces deux ED linéaires scalaires du 1er ordre, puis
reveniràx,y par X= PY.
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