-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
(-l)"n
( 1 )
x) sin (2nJn 2 + (-1)") =
n
+ 0 n2 ·
Réponse : converge.
y) sin (o + (-1)".fil)- I) = (-;t -~ + Ocl~ ) ·
Réponse : diverge.
(
(-1)")
(-1)"
'
~ _ _ 1 _
z) ln 1 + - - = - - + v,,, ou v,,
2 2a .
n"
n"
,,oo
n
1
Réponse : converge si et seulement si a > 2:
1 ln n + (-1)" .fil+ a = a - b + 0 (2-).
a) n+(-1)"..fa+b
n
n 2
Réponse : converge si et seulement si a = b.
( - 1 )"
( - l )"
'
1
b')
= --.- + v,,, OU V11 ~ - - 3
-a •
,Jn° + (-1)"
n ï
1100
2n 2
2
Réponse: converge si et seulement si a > 3·
Montrer successivement :
•\ln E N, u 11 ?: 0
e- 11 ,,
1
u
,._, o , , : : :
, , : : :
donc u 11
~ 0
•vn E1~, "' Un+J=n+I "' n+l
noo
e- 11,.
1
1
• u 1 = - - ~ - - , donc u,, ~ -
11 +
n + 1 noo n + 1
1100 n
1 (
1) -1 -l+o ( ..!..) 1
( 1)
• u 1 = - 1 + -
e "
"
2
= - + 0 2
11+
n
n
n
n
(-1)11
( 1 )
• (-1)11u11 = - n- + 0 n2 .
Réponse : converge.
n 11
1
a) -~-- .
n!e" noo ~
Réponse : diverge.
n°n !e 11
,/2ir a+l
b)
~ - - n 2
(n + 1) 11 noo e
3
Réponse : converge si et seulement si a < -2:
c
~ v2 -
(2n)!
r,; ( 4 )
11
) n!a"n" 11 00
ea
4
Réponse: converge si et seulement si a > ~(fi l)anbn
a- c
2
2
d) ·
~ Kn(a +b-2c)11n T(e c-a 2 - c)11,
((2n)!)C 11 00
a - C Cl-C
où K = 2 2 n T .
Réponse : converge si et seulement si : (a + b - 2c < 0) ou
!
a +b- 2c =0
{
a+b-2c=0
ou
2(1 - ln 2)c - a = O.
2(1 - ln 2)c - a < 0
2 0
a-c+ <
e • lun+I I = 2n + 1 < 1.
) lu,,I
2n + 2
De la formule de Stirling (n! ~ (~)
11 ~),on déduit
1100
e
1
lu,, I ~ - - et donc lu11I ~O.
11 00 Fn
11 00
On peut alors appliquer le TSCSA.
Réponse : converge.
~
(
1 )
On a: ( 1 + ~) =exp n
2 ln (1 + ;; )
=exp ( n - ~ + o(l))
,,_ l o( I )
11-k
= e 2e
~ e •
noo
d'où, en utilisant la formule de Stirling :
fiii
Réponse : y ~ .
Pour tout n de N* :
1
f,
11+ 1 X - - - E(x)
f,n+I
2
dx =
n
X
n
(
1
)
- +n
1- ~ dx
= 1 - ( n + ~) (1n(n + 1) - ln n),
d'où:
1
!
11+1 x - 2
- E(x)
-----"''----- dx
1
X
= t (1-(k + ~)(ln(k + 1)- ln k))
Il
(
1)
Il
(
1)
= n - 8 k + 2
ln (k + 1) + 8 k + 2
ln k
Il
(
1
1 )
= n + b (k + 2 ) - (k - 2 ) ln k
1
- (n + 2
) ln (n + 1)
=n+ln(n!)-(n+~)(lnn+~+ o (~))
2
n
11 00
n
=n+(n lnn-n +~ Inn+~ ln (2n)+o(l ))
- ( n ln n + ~ ln n + 1 + o(l))
1
ln (2n) - 1 + o (1).
2
1100
1 633