1.2.3
Dans la définition de la continuité
' - uniforme, le r/ ne doit pas dépendre de
x' nidex".
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
La composée de deux applications uc
estuc.
1.2.4
Les applications 0-lipschitziennes sont
les applications constantes.
\
1.2 · Limites, continuité
Continuité uniforme
Soient (E,11.llE),(F,ll.llF) deux lK -evn, dE (resp. dF) la distance associée à 11. ll E
(resp. 11.ll F).
Soient X E 5.p(E),f : X -----+ F une application.
On dit quef est uniformément continue (en abrégé uc) si et seulement si:
Vê > 0, 317 > 0 , V(x' ,x") E X 2 , (dE(X
1 ,x
11
) :::;;; 1) ===} dF(f(x
1 ),f(x
11
)) :::;;; ê).
La Proposition suivante est immédiate.
Si f est uc sur X, alors f est continue sur X.
l
La réciproque de cette proposition est fausse : une application f peut être continue sur X sans
être uc sur X ; exemple: IR ---+ IR , cf. Analyse MPSI, 4 .3.6.
X f--7 X
2
Cependant, nous verrons plus loin (théorème de Heine, 1.3.l p. 61) que, si f: X---+ Fest
continue et X compact, alors f est uc sur X.
1
f : X -----+ F est uc sur X
Si g : Y -----+ G est uc sur Y ,
f(X) C Y
Preuve
alors g o f est uc sur X.
Soit e > O. Puisque g est uc sur Y, il existe T/ > 0 tel que :
V(y' ,y") E Y
2 ,
( dF(Y
1 ,y") :::;;; T/ ==:? dG (g(y'), g(y
11
)) :::;;; e).
Puis, comme f est uc sur X, il existe a > 0 tel que :
"l(x
1 ,x
11
) E X
2 ,
(dE(X
1 ,x
11
) :::;;; a==:? dF(f(x'), f(x")):::;;; T/).
On a alors:
"l(x
1 ,x
11
) E X
2
,
( dE(X
1 ,x
11
):::;;; a==:? dG(g(f(x
1
)) , g(f(x
11
)))):::;;; s ).
et donc g o f est uc sur X.
•
Applications lipschitziennes
Soient (E,11.llE), (F,11.llF) deux JK -evn, d E (resp. dF) la distance associée à 11. llE
(resp. 11. ll F).
..
Soient X E 5.p(E),f : X -----+ F une application.
• 1) Soit k E rn?.+ ; on dit que f est k-Iipschitzienne si et seulement si :
2) On dit que f est lipschitzienne si et seulement s'il existe k E fi?.+ tel que f soit
k-lipschitzienne.
• Une application f : X -----+ X est dite contractante si et seulement s'il existe
k E [O; 1[ tel quef soit k-lipschitzienne.
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