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48
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Les méthodes à retenir
Limites, continuité
• Pour montrer qu'une partie est ouverte (resp. fermée), on peut essayer de la faire apparaître comme image
réciproque d' une partie ouverte (resp. fermée) par une application continue (ex.1.2.1, 1.2.2, 1.2.4, 1.2.5). Pour
toute partie non vide A de E , l'application x ~ d (x, A) est continue sur E (voir plus loin,§ 1.2.4 Prop. 2 p. 50).
• Pour établir qu'une application est continue sur son ensemble de départ, essayer de :
appliquer les théorèmes généraux relatifs à la composition et aux opérations, § 3) Prop. 2 p. 45 (ex. 1.2.3)
montrer que 1' image réciproque de tout ouvert est un ouvert ou que l'image réciproque de tout fermé est un
fermé (ex. 1.2.6 c))
revenir à la définition et montrer que l'application est continue en tout point.
se souvenir que le caractère lipschitzien ou l'uniforme continuité entraînent la continuité.
1.2.1 Soient E un evn, A une partie non vide de E. Pour
chaque a de IR~, on note Va(A) = {x E E ; d(x, A) < a}.
a) Montrer que, pour tout a > 0, Va (A) est un ouvert de E
contenant A, et n Va( A) =A.
a > O
b) Représenter graphiquement Va(A) dans l'exemple:
E = IR 2 muni de 11-112. a = 1,
A= (IR X {O}) u ({O} X [- 1; l]).
1.2 .2 Soient E un evn, A, B deux parties de E telles que :
A n B = A n B = 0 . Montrer qu'il existe deux ouverts
U, V de E tel s que :
A C U , B C V , Un V = 0 .
1.2.3 Soient E,F, G trois evn, A C E , B C F ,
A # 0, B # 0, f: A---+ G, g : B ---+ G
des applications, (x ,y) 1--+ f(x) + g (y)
Montrer que continues.
1.2.4
Soient E, F deux evn, f: E ---+ F une
application, (U;);e t un recouvrement ouvert de E , c'est-àdire une fa mille (U;);Ef d'ou verts de E te ll e que
LJ U; = E. On suppose que, pour tout i de /, la restriction
i e /
f lu; de f à U; est continue. Montrer que f est continue.
1.2.5 Soient E le IR -ev des applications IR---+ IR continues et bornées, muni de 11 -1 lcx»
E_ = {f E E; Vx E IR_,f(x) = 0} ,
E+ = {f E E; Vx E IR+ ,J(x) = 0},
C = {cl ; c E IR} où 1: ~ ~ ~
xt-> I
Montrer que E _ ,E+, C sont des sev fermés de E et :
E = E _ œ E+ œ c.
1.2.6 Applications ouver tes
Soient E, F deux evn, X E î](E),f: X ---+ F; on dit
que f est ouver te si et seulement si, pour tout ouvert Q
de X,f(Q) est un ouvert de F.
a) Soient E un evn, a E E; montrer que l'application
x 1--+ d(a,x)
b) Montrer que, si f : X ---+ F est ouverte et À E JK*,
alors Àf est ouverte.
c) Soient E , F,G trois evn, XE î] (E ),
Y E î](F) , Z E î](G), f : X ---+ Y ouverte et surjective,
g : Y ---+ Z ; on suppose g o f continue. Montrer que g
est continue.
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Les méthodes à retenir
Limites, continuité
• Pour montrer qu'une partie est ouverte (resp. fermée), on peut essayer de la faire apparaître comme image
réciproque d' une partie ouverte (resp. fermée) par une application continue (ex.1.2.1, 1.2.2, 1.2.4, 1.2.5). Pour
toute partie non vide A de E , l'application x ~ d (x, A) est continue sur E (voir plus loin,§ 1.2.4 Prop. 2 p. 50).
• Pour établir qu'une application est continue sur son ensemble de départ, essayer de :
appliquer les théorèmes généraux relatifs à la composition et aux opérations, § 3) Prop. 2 p. 45 (ex. 1.2.3)
montrer que 1' image réciproque de tout ouvert est un ouvert ou que l'image réciproque de tout fermé est un
fermé (ex. 1.2.6 c))
revenir à la définition et montrer que l'application est continue en tout point.
se souvenir que le caractère lipschitzien ou l'uniforme continuité entraînent la continuité.
1.2.1 Soient E un evn, A une partie non vide de E. Pour
chaque a de IR~, on note Va(A) = {x E E ; d(x, A) < a}.
a) Montrer que, pour tout a > 0, Va (A) est un ouvert de E
contenant A, et n Va( A) =A.
a > O
b) Représenter graphiquement Va(A) dans l'exemple:
E = IR 2 muni de 11-112. a = 1,
A= (IR X {O}) u ({O} X [- 1; l]).
1.2 .2 Soient E un evn, A, B deux parties de E telles que :
A n B = A n B = 0 . Montrer qu'il existe deux ouverts
U, V de E tel s que :
A C U , B C V , Un V = 0 .
1.2.3 Soient E,F, G trois evn, A C E , B C F ,
A # 0, B # 0, f: A---+ G, g : B ---+ G
des applications, (x ,y) 1--+ f(x) + g (y)
Montrer que continues.
1.2.4
Soient E, F deux evn, f: E ---+ F une
application, (U;);e t un recouvrement ouvert de E , c'est-àdire une fa mille (U;);Ef d'ou verts de E te ll e que
LJ U; = E. On suppose que, pour tout i de /, la restriction
i e /
f lu; de f à U; est continue. Montrer que f est continue.
1.2.5 Soient E le IR -ev des applications IR---+ IR continues et bornées, muni de 11 -1 lcx»
E_ = {f E E; Vx E IR_,f(x) = 0} ,
E+ = {f E E; Vx E IR+ ,J(x) = 0},
C = {cl ; c E IR} où 1: ~ ~ ~
xt-> I
Montrer que E _ ,E+, C sont des sev fermés de E et :
E = E _ œ E+ œ c.
1.2.6 Applications ouver tes
Soient E, F deux evn, X E î](E),f: X ---+ F; on dit
que f est ouver te si et seulement si, pour tout ouvert Q
de X,f(Q) est un ouvert de F.
a) Soient E un evn, a E E; montrer que l'application
x 1--+ d(a,x)
b) Montrer que, si f : X ---+ F est ouverte et À E JK*,
alors Àf est ouverte.
c) Soient E , F,G trois evn, XE î] (E ),
Y E î](F) , Z E î](G), f : X ---+ Y ouverte et surjective,
g : Y ---+ Z ; on suppose g o f continue. Montrer que g
est continue.