Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
9.5 Formes différentielles
9.5.1
Définition
,
Rappelons (cf. 9.1.3 1) p. 499) que
\}._,. dx 1 , ••• , dx p sont les projections de
JRP dans JR,c'est-à-dire :
V j E (1, ... ,p},
Vh=(h 1 , ... /!p)E JRP
(dxj)(h) = hj.
9.5.2
\]_, Au lieu de« exacte »,on dit aussi« totale ».
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
546
Les primitives d'une forme différentielle
exacte sont déterminées à une
constante additive près.
Soit U un ouvert de ~.P. On appelle forme différentielle sur U toute application
w : U ----+ L.:(JRP ,JR) telle qu'il existe p applications A 1 , . .. , Ap : U ----+ lR de classe
C
1 sur U telles que :
p
V(x1, ... ,xp) EU, w(x1, ... ,xp) = LA/x1, ... ,xp)dxj.
j=l
Les applications A 1 , ••• ,Ap sont appelées les coefficients de la forme
différentielle w .
Formes différentielles exactes
Soient U un ouvert de JRP, w une forme différentielle sur U.
On dit que w est exacte sur U (ou: w admet des primitives sur U ) si et seulement
s'il existe F : U ----+ lR de classe C
1 sur U telle que :
Une telle application F, si elle existe, est appelée une primitive de w sur U .
En utilisant les coefficients A 1 , ... , A P de w :
p
'v'(x1, ... ,xp) EU, w(x1, ... ,xp) = LAj(X J, ... ,xp)dxj,
j= I
la relation
d(x i , ... ,x ,,) F = w(x 1 , ... ,xp) est équivalente à:
'v' j E (1 , ... , p},
Exemple:
p
La forme différentielle w: (x1 , ... ,xp) t---+ LXj dxj est exacte sur JRP, et admet (au
j=I
1 p
• )
• • •
ITJJP F . (
)
' °"' 2
mmns comme pnllllt1ve sur m.. ,
. x 1, ... ,xp t---+ 2' L..,, xj .
1=1
Soient U un ouvert de JRP et w une forme différentielle sur U .
Si U est connexe par arcs et w exacte alors w admet par définition au moins une primitive F sur U, et l'ensemble des primitives de w sur U est {F +À; À E JR}.