Ce résultat se traduit géométriquement :
sous les hypothèses indiquées, la courbe
d'équations
{
f(x,y,z) = 0
g(x ,y, z) = 0
admet une représentation paramétrique
de classe C
1
,
{
y =
au voisinage de A.
Exercice 9.4.1.
9.4 · Fonctions implicites
3) Si p = 1 et n = 2, le théorème des fonctions implicites prend la forme suivante.
Soient U un ouvert de IR 3 , A = (a ,b,c) E U ,f,g : U -----+ IR deux applications.
• f (A) = g(A) = 0
• f,g sont de classe C 1 sur U
On suppose
•
af (A)
az
,t:O
ag(A)
az
Alors il existe un voisinage ouvert v de a dans IR et des voisinages ouverts w1 , w2 de b ,c
respectivement dans IR tels que:
• Il existe un couple unique d'applications I
• V X W 1 X W2 C U
V x E v, f(x ,rp(x),'l/J(x)) = g ( x ,
•
(
rp'(x) ) = - ( :~ (x,rp(x),' l/J(x))
'l/J'(x)
ag (
)
ay X,
) - 1 af
az x,rp(x), ' l/J(x) )
( ax (x,rp(x), ' l/J(x)))
:~ ( x,
Fonctions implicites
• Le théorème des fonctions implicites s'applique souvent, dans des exemples simples (ex. 9.4.1).
Pour obtenir un développement limité de la fonction implicite
Exercice
9.4.1 Montrer que la relation proposée définit implicitement y en fonction de x au voisinage du couple (a ,b) indiqué et former le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de a, de la fonction implicite a) ln (1 + x +y) - x 2 + y2 = 0, (0 ,0)
b) cosy -x sin y -x 3 = 0, (1,0)
c) x 2 lny-y 2 Inx=0, (1 , 1)
d) ex+y - x 2 + 2xy 2 - 2 - ln (3 + x + 3y) = 0, (1,-1).
545
sous les hypothèses indiquées, la courbe
d'équations
{
f(x,y,z) = 0
g(x ,y, z) = 0
admet une représentation paramétrique
de classe C
1
,
{
y =
au voisinage de A.
Exercice 9.4.1.
9.4 · Fonctions implicites
3) Si p = 1 et n = 2, le théorème des fonctions implicites prend la forme suivante.
Soient U un ouvert de IR 3 , A = (a ,b,c) E U ,f,g : U -----+ IR deux applications.
• f (A) = g(A) = 0
• f,g sont de classe C 1 sur U
On suppose
•
af (A)
az
,t:O
ag(A)
az
Alors il existe un voisinage ouvert v de a dans IR et des voisinages ouverts w1 , w2 de b ,c
respectivement dans IR tels que:
• Il existe un couple unique d'applications I
• V X W 1 X W2 C U
V x E v, f(x ,rp(x),'l/J(x)) = g ( x ,
(
rp'(x) ) = - ( :~ (x,rp(x),' l/J(x))
'l/J'(x)
ag (
)
ay X,
) - 1 af
az x,rp(x), ' l/J(x) )
( ax (x,rp(x), ' l/J(x)))
:~ ( x,
Fonctions implicites
• Le théorème des fonctions implicites s'applique souvent, dans des exemples simples (ex. 9.4.1).
Pour obtenir un développement limité de la fonction implicite
Exercice
9.4.1 Montrer que la relation proposée définit implicitement y en fonction de x au voisinage du couple (a ,b) indiqué et former le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de a, de la fonction implicite a) ln (1 + x +y) - x 2 + y2 = 0, (0 ,0)
b) cosy -x sin y -x 3 = 0, (1,0)
c) x 2 lny-y 2 Inx=0, (1 , 1)
d) ex+y - x 2 + 2xy 2 - 2 - ln (3 + x + 3y) = 0, (1,-1).
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