Après calculs.
Dans cet exemple, le calcul des dérivées
partielles secondes de f est rapide.
9.3 • Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles
On détermine les points critiques de f en résolvant
2x+ +-x 2 =0 .
y 4
, d'inconnue
1
3
X +2y = 0
(x,y) E JR 2 . On obtient (0,0) et (-2,1).
• f est de classe c 2 sur IR 2 et :
2
'v'(x,y)ElR,
(
fi
3
f 2(x,y) = 2 + -x,
X
2
J;~(x,y) = 1,
minimum local strict
2) Déterminer les extremums locaux de f :
En (0,0) :
r = 2, s = 1, t = 2, d'où
s
2 - rt = -3 < 0 et r = 2 > 0 , donc f
admet un minimum local strict en (0,0).
En
(-2,l):r= -1 ,s=l,t=2,d'où
s 2 - rt > O,doncfn'admetpasd'extremum
local en (-2, 1). li s'agit d' un point-col.
R_2 ~ lR
(x,y) f-----+ sin 2 x - sh
2 y.
• f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 2 et : V' (x,y) E JR 2 , {
J;(x,y) = sin 2x
J;(x,y) = -sh 2y
n
Les points critiques def sont les (n 2
,o), n E Z .
• f est de classe c 2 sur IR 2 et :
2
'v'(x ,y) E lR , cr;s(x ,y) = 2 cos 2x , J;~cx,y) = 0, f"2(x,y) = -2 ch 2y).
· y
maximum local strict
minimum local strict
n
En (n 2
,o), n E Z, on a:
r = 2cosnn,s = 0 t = -2
d'où
s 2 - rt = 4 cos nn. Sin est pair, alors
s 2 - rt > 0, f n'admet pas d'extremum
local en (n~,O). Il s'agit d'un point-col.
Si n est impair, alors s 2 - rt < 0 et
r = - 2 < 0, donc f admet en ( n ~, 0) un
maximum local strict.
3) L'application f : JR 2 ~ lR , de
(x,y)~x4+y4
classe c 2 sur IR 2 , admet un point critique
et un seul , (0,0), en lequel s 2 - rt = 0
(car r = s = t = 0). Comme
V' (x,y) E JR 2 - {(0,0)},
4
4
f(x,y) = x +y > 0 = f(O,O),
f admet en (0,0) un minimum local strict.
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