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538
Chapitre 9 • Fo nctio ns de plusieurs varia bles réelles
2 ) S. { s
2
- r t < 0
1
r < 0
'
alors f admet un maximum
local strict en a.
3)
Si s
2 - rt > 0, alors f
n'admet pas d'extremum local
en a.
Dans ce cas, on dit que f
ad met un point-col (ou :
point-selle) en a.
Preuve
z
f( a)
X
z
X
Considérons la forme quadratique Q : JR 2 ----+ lR défi nie par:
2
V (h,k) E iR ,
D'après Algèbre et géométrie MP, on a :
Q(h ,k) = rh 2 + 2s hk + tk 2 .
z = f (x, y)
··.
V
z = f (x, y)
( Q positive non dégénérée) {:::::::} (s 2 - rt < 0 et r > 0)
(Q négative non dégénérée){:::::::} (s 2 - rt < 0 et r < 0)
(Q ni positive ni négative) {:::::::} (s
2 - rt > 0) .
On applique alors le théorème de 2) a) p. 536.
Exemples :
1) Déterminer les extremums locaux de f : IR 2 ----> IR
,
,
1 J
(x,y ) t---+ x- +xy + )'" + 4 x .
y
y
• f est de classe C
1 sur l'ouvert IR
2 et :
3
1
J;(x,y) =2x +y+ 4
x
2
V(x, y) E IR 2 ,
1; cx,y) = x + 2y
•