"'O
0
c
::J
0
(V)
......
Pour la physique, c'est l'équation aux
ondes en dimension 1.
D F = f o.
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Calcul des dérivées partielles premières
d'une fonction composée.
9.2 • Dérivées partielles successives
Exemple:
a
2 f
Trouver toutes les applications f : R
2 -----+ R de classe C
2 telles que : i1x 2 = xy .
af x
2
Onobtientd'abord ax = 2
y +A (y ), A: 1R -----+ 1R declasseC
1 ;
x3
puis f(x,y) = 6'y + A(y)x + B(y) , A,B: 1R-----+ 1R quelconques de classe c 2 .
b)R , l . d
eso utwn e - - = 1 sur u11 pave ouvert
axa y
De même que ci-dessus, on obtient f(x,y) = H 1 (x ,y) + A(x) + B(y), où H 1 est
obtenue en « primitivant h par rapport à x puis par rapport à y » et A , B sont quelconques de classe C
2 .
Exemple :
a
1 f
Résoudre
= 0, où f: JR.
2 -----+ IR est l'inconnue, de classe C
2 •
ax a y
La solution générale est f :
JR 2 -----+ 1R
, où A, B : lR -----+ lR sont de classe C 2 .
(x ,y)r-> A(x)+B(y)
2) Autres EDP
L'énoncé indiquera en général un changement de variable (ce qui entraînera aussi un changement de fonction inconnue) permettant de se ramener au 1 ). On sera ainsi amené le plus souvent
à calculer des dérivées partielles successives d'une fonction composée.
Exemples:
1) Trouver toutes les applications f : R
2 -----+ R de classe C
2 sur :R
2 telles que :
(\ ,I)>--+ ./ (l ,1)
a
2 f
1 a
2 f
-. -, - ) -. -, = o.
axc- ilt(où c > 0 est fi xé).
en utilisant le changement de variables X= x +et, Y= x - et.
L'application: (x ,t) !-------* (x + et,x - et) est un C
2 -difféomorphisme de JR
2 sur JR
2
(cf. 9.2.4 Th. p. 527).
Notons pour/: JR
2 -----+ JR, F = f o V (x,t) E IT~.2, f(x ,t) = F(x + et,x - et),
F
ou encore: (x,t) 1-------*(X + et,x - et)!-------* F(x + et,x - et) = f (x,t).
De plus, Fest de classe C
2 sur JR
2 si et seulement si/ est de classe C
2 sur JR
2 .
D'après 9 .1.3 2) Th. p. 500, on a, avec des notations abusives classiques :
{
af = aF ax + aF aY = aF + aF
ax
âX âx
âY âx
âX
âY
âf
âF ax
âF âY
âF
âF
- = - - + - - = e - - e - .
ây
ax ây
aY ay
ax
aY
Puis, toujours d'après 9.1.3 2) Th. p. 500 et en utilisant le théorème de Schwarz :
529
0
c
::J
0
(V)
......
Pour la physique, c'est l'équation aux
ondes en dimension 1.
D F = f o
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Calcul des dérivées partielles premières
d'une fonction composée.
9.2 • Dérivées partielles successives
Exemple:
a
2 f
Trouver toutes les applications f : R
2 -----+ R de classe C
2 telles que : i1x 2 = xy .
af x
2
Onobtientd'abord ax = 2
y +A (y ), A: 1R -----+ 1R declasseC
1 ;
x3
puis f(x,y) = 6'y + A(y)x + B(y) , A,B: 1R-----+ 1R quelconques de classe c 2 .
b)R , l . d
eso utwn e - - = 1 sur u11 pave ouvert
axa y
De même que ci-dessus, on obtient f(x,y) = H 1 (x ,y) + A(x) + B(y), où H 1 est
obtenue en « primitivant h par rapport à x puis par rapport à y » et A , B sont quelconques de classe C
2 .
Exemple :
a
1 f
Résoudre
= 0, où f: JR.
2 -----+ IR est l'inconnue, de classe C
2 •
ax a y
La solution générale est f :
JR 2 -----+ 1R
, où A, B : lR -----+ lR sont de classe C 2 .
(x ,y)r-> A(x)+B(y)
2) Autres EDP
L'énoncé indiquera en général un changement de variable (ce qui entraînera aussi un changement de fonction inconnue) permettant de se ramener au 1 ). On sera ainsi amené le plus souvent
à calculer des dérivées partielles successives d'une fonction composée.
Exemples:
1) Trouver toutes les applications f : R
2 -----+ R de classe C
2 sur :R
2 telles que :
(\ ,I)>--+ ./ (l ,1)
a
2 f
1 a
2 f
-. -, - ) -. -, = o.
axc- ilt(où c > 0 est fi xé).
en utilisant le changement de variables X= x +et, Y= x - et.
L'application: (x ,t) !-------* (x + et,x - et) est un C
2 -difféomorphisme de JR
2 sur JR
2
(cf. 9.2.4 Th. p. 527).
Notons pour/: JR
2 -----+ JR, F = f o V (x,t) E IT~.2, f(x ,t) = F(x + et,x - et),
F
ou encore: (x,t) 1-------*(X + et,x - et)!-------* F(x + et,x - et) = f (x,t).
De plus, Fest de classe C
2 sur JR
2 si et seulement si/ est de classe C
2 sur JR
2 .
D'après 9 .1.3 2) Th. p. 500, on a, avec des notations abusives classiques :
{
af = aF ax + aF aY = aF + aF
ax
âX âx
âY âx
âX
âY
âf
âF ax
âF âY
âF
âF
- = - - + - - = e - - e - .
ây
ax ây
aY ay
ax
aY
Puis, toujours d'après 9.1.3 2) Th. p. 500 et en utilisant le théorème de Schwarz :
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