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528
Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Les méthodes à retenir
ck-difféomorphismes
• Etant donné k EN* U {+oo}, un ouvert U de IR
11 et une application 11
, pour montrer que c k-difféomorphisme de U sur 11
-

-

- pour tout a E U, la différentielle da 11 sur IR
11
•
La détermination de Exercices
9.2.11
Soient U = {(x,y, z ) E IR 3 ; x > O,x +y > O},
9.2.12 Soient U = {(x,y) E JR2; x > y2},
f : U -----+ JR 2 définie par :
f : U -----+ IR 3 définie par :
f(x, y ,z) = (x +y,~,~).
f(x,y) = (x,xy - Y:).
a) Déterminer f (U).
a) Déterminer f(U).
b) Montrer que f est un C
00 -difféomorphisme de U
sur f(U).
b) Montrer que f est un C
00
-difféomorphisme de U
surf(U).
9.2.5
Dans l'équation af = fi, l'inconnue
ax
estf
Exemples de résolution d'équations
aux dérivées partielles d'ordre ~ 2
De manière analogue à 9.1.7 p. 516, nous nous intéressons ici à des équations aux dérivées partielles d'ordre ~ 2, où l'inconnue est une fonction de plusieurs variables et à valeurs réelles.
1) Equations fondamentales
a
2 f
a) Résolution de - - 1 = g sur un pavé ouvert
a x ~
Soient /, J deux intervalles ouverts non vides, U = l x J , g : U -----+ IR continue. D'après
9.1.7 l ) b) p. 517, la solution générale de Bfi = g (où fi : U-----+ IR est l'inconnue, de classe
ax
C 1 sur U) est obtenue en « primitivant g par rapport à x » et en rajoutant une fonction quelconque de classe C 1 de la variable y.
Puis la solution générale de Bf = fi s'obtient de la même manière.
ax
On arrive ainsi à f(x ,y) = G1 (x ,y) + A(y)x + B(y), où G1 est obtenue en« primitivant g
deux fois par rapport à x » et où A , B sont quelconques de classe c 2 sur J.