C'est la méthode utilisée en pratique,
appelée méthode de variation des
constantes. On peut mémoriser :
X= À1X1 + À2X2
avec les conditions :
{
À
1
1 x1 + À;x2 = 0
À
1
1 x; + À;x2 = g
où g est le second membrede l'équation
normalisée.
0 On fait ainsi apparaître une convoluée.
-0
0
c
::J
0
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Sur l =] ~; +oo[. l'équation est
normalisée.
8.4 • Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
Nous disposons d'une base (x1 ,x2) de So , donc d'une base ( (x 1 ,x;), (x 2 ,x2)) de l'espace des
{
x' =y
solutions de (So)
y'= -bx - ay'
On cherche donc une solution (x,y) de (S) de la forme (x,y) = .l..1 (x1 ,x]) + .l..2(x2 ,x2) , où
ÀJ ,.l..2: l ~ OC sont des fonctions inconnues.
Ceci revient à: { x,= ÀJXJ' + À 2 x 2 ,.
X = À]Xl + À2x 2
Comme x' = (.l..1x1 + .l..2x2)' = (.l..' 1 x1 + À2x2) + (.l..1x] + .l..2x2), on a: .l..]x1 + À2x2 =O.
En reportant dans (E) : x" + ax' + bx = g ~ .l..' 1 xi + À2x2 = g.
L , J • d
'
d d
,
.
{ .l..' I X 1 + À2X2 = Ü
a reso ut1on u systeme e eux equat10ns
, ,
, ,
.
ÀIXI + À2X2 = g
fournit >..' 1 ,>..2, d 'où >..1 ,>..2
par des calculs de primitives, puis x = >.. 1x 1 + >..2x2.
En résumé, on cherche une solution x de (E) sous la forme x = À 1 x 1 + À2x2,
À 1 , À 2 : l --+ IK, avec la condition À~x 1 + À;x 2 =O.
Exemples:
/) Exprimer les solutions de l'ED (E) x" + u>2x = g (où w ER~ et g : I ~ OC est
continue) sous forme d'intégrales en fonction de g.
Une base du OC-ev So des solutions de (Eo)
x1 : t f----+ cos wt, x2 : t ~ sin wt.
x" + w
2
x = 0 sur I est (x1 ,x2) , où
D'après la méthode de variation des constantes, on cherche une solution x de (E) sous la
forme x = .l.. 1 x 1 + À 2 x 2 , À 1 , >.. 2 , : I ~ OC, avec la condition >..] x 1 + >..2x2 =O.
On obtient:
I
À;(tl=~~g(t),in wt ) .
>..;(t) = -g(t)cos wt
w
Soit to E l quelconque ; une solution particulière x de (E) sur l est définie par :
x (t) = - ~ (1: g (u) sin wu du) cos wt + ~ (1
0
1
g (u )cos wu du) sin wt
111
= -
g(u) sin( w(t - u) ) du.
w to
,
Il
'
(f2-3)'
2) Résoudre l'ED (E) (t - - 3).x - 4tx + 6x = - - -
t
sur I =J J3: +oo[.
•Comme dans l'exemple de 8.4.2 1) p. 480, la recherche d'éve ntuelles solutions polynomiales de (Eo) fait apparaître les solutions x1 : t ~ t 3 + 9t et x2 : t ~ t 2 + 1, d'où
So = {
I ~ IR.
;
(>.. ,µ) E IR.
2
}.
t~ À(t 3 +9r)+µ,( r2+ 1)
• La méthode de variation des constantes indique de chercher une solution x de (E) sous
la forme:
x(t) = >..(t)(t
3 + 9t) + µ(f)(t
2 + 1) ,
avec la condition >..'(t)(t 3 + 9t) + µ ' (t)(t2 + 1) =O.
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