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482
Chapitre 8 • Équations différentielles
Remarquer que, d'après la méthode de
Lagrange, À
1 vérifie une équation
différentielle linéaire du premier ordre
sans second membre.
Dans cet exemple, grâce à un calcul de
primitive, on peut exprimer À
1
, puis,
grâce à un deuxième calcul de
primitive,on peut exprimer À.
f
dt
Pour le calcul de
2
2
,
(t + 1)
cf. Analyse MPSI, § 9.5 3).
Nepasoublierquex2 = Àx1 ,et ne pas
confondrex2 et À.
8.4.3
On sait que So est un IK-ev de
dimension 2,cf. § 8.4.1 2).
L'énoncé impose ici l'intervalle de départ
de x, afin de pouvoir normaliser
l'équation.
Une solution particulière en À
1 (autre que 0) est donnée par :
1
(
! 4t ) 1
À (t) = exp -
- 2
- - dt = 2
2
,
t + 1
(t + 1)
!
dt
1 (
t
)
t
2 + 1
t
d'où À(t) =
2
2
= - Arctan t + - 2
- - , et donc x2(t) = --Arctan! +-.
(t + 1)
2
t + 1
2
2
Finalement, la solution générale de (Eo) sur IR est donnée par :
x(t) = a(t 2 +1)+13( (t 2 + l)Arctan t + t) ,
2
(a,{3) E IR .
Remarque : Si on ne connaît aucune solution « explicite >> de CEo) (autre que 0), on ne peut
apparemment pas résoudre CEo) au moyen des fonctions usuelles.
3) Cas des coefficients constants
On dit que (Eo) x" + ax' + bx = 0 est à coefficient constants lorsque a,b sont des
éléments fixés de !K. Ce cas a été traité dans Analyse MPSI, 10.2.2 Théorème.
Résolution de (E)
D'après 8.4.1 p. 478, il suffit de trouver une solution particulière de (E) , après avoir
résolu (Eo).
Notons (x 1 ,x2) une base de So.
1) Cas où (E) admet une solution évidente
Il se peut que (E) admette une solution évidente, ou une solution « d'une forme
simple» ~-Alors S = {~ + À1x1 + À2x2; (À1 ,À2) E IK
2 }.
Exemple:
Résoudre l'ED (E) t
1 x" + t x' -x = l, d'inconnue x: 10: +oo[---+ IR .
• L'ED (Eo)
t
3 x" + tx' - x = 0 admet la solution évidente XJ : t ---+ t. D'après 8.4.2
2) p. 481 , cherchons une solution x de (Eo) sous la forme x(t) = J..(t)t. On obtient
t
4 J.." (t) + (2t
3 + t
2 )J..' (t) = 0,
( !
2t + 1 ) (
1) 1 1
d'où J..' (t) =exp -
-
1
- 2
-
dt =exp - 2 ln t + t = fi.e ' ,
!
1 1
1
1
puis À(t) =
12
e ï dt= -eï , et donc x(t) = -teï .
Ainsi, la solution générale de (Eo) sur ]O; +oo[ est donnée par :
x(t) = at + f3tef, (a ,{3) E IR 2 .
• L'ED (E) admet la solution évidente ~ : t t---+ - 1.
Finalement : S = { ]0; +oo[---+ IR
1
;
(a, /3) E IR 2 } .
t~ - l +at+,Bteï
2) Méthode générale : méthode de variation des constantes
On applique les résultats de 8.3.5 2) p. 459 au système différentiel (S) { x; = y b
y = -x-ay+g.