Chapitre 8 • Équations différentielles
8.4 Équations différentielles linéaires
scalaires du second ordre
8.4.1
'(
On dit que (E) est l'équation avec second
\ ] ) membre,etque(Eo) estl'équationsans
second membre associée.
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
478
Remplacement d'une ED scalaire
d'ordre 2 par un système de deux ED
scalaires d'ordre 1.
Résultat utile pour de nombreux
exercices, plutôt théoriques, sur les
équations différentielles linéaires scalaires
du second ordre.
Utile en pratique.
Généralités
1) Notations
Soient I un intervalle de ~. a,b,g : I ~ OC des applications continues.
On considère les ED linéaires scalaires du second ordre normalisées
(E) x" + ax' + bx = g
(Eo) x" + ax' + bx = 0,
d'inconnue x : I ~ lK deux fois dérivable.
On note S (resp. S 0 ) l'ensemble des solutions de (E) (resp. (E 0 )) sur/.
2) Structures de S et de S 0
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Pour tout (to,xo,x1) de I x OC x OC, il existe une solution et une seule x de
(E) x " + ax' + bx = g telle que { x}to) = xo .
J
- - - - - - - - - - - - - -
x (t
0
) = _ x_ , ____________ _,.
Preuve
On ramène l'étude de (E) à celle d'un système différentiel linéaire du l er ordre (cf. 8.1.2
{
x' =y
p. 433) (S)
,
b
.
y = - X -ay +g
D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (cf. 8.3.2 Théorème p. 455), il existe une solution unique
{
x(to) = x 0
{ x(to) = xo
(x , y) de (S) telle que
( )
, donc une solution unique x de (E) telle que
.
Y to = x1
x ' (to) = x1
1) S 0 est un JK-ev de dimension 2, et l'application S 0 ~ JK
2
, pour t 0 E I
fixé, est un isomorphisme de lK -ev.
x1-+(x(to) ,x ' (to))
2) S est un OC-espace affine de dimension 2, de direction So, et l'application
s ~ OC
2
'pour to E I fixé, est un isomorphisme de OC -espaces affines.
x1-+ (x(to) ,x ' (to))
Preuve
Résulte de 8.3.3 Prop. 2 p. 456 en se ramenant au système différentiel d'ordre 1
{
x' = y
y'= -bx -ay
{
x' = y
(resp.
,
b
).
y = - X -ay +g
•
Comme en 8.3.3 p. 456, la solution générale de (E) est la somme d'une solution particulière de (E) et de la solution générale de (Eo). On voit ainsi que la résolution de (E)
se ramène à la résolution de (Eo) et à la détermination d'au moins une solution de (E).
8.4 Équations différentielles linéaires
scalaires du second ordre
8.4.1
'(
On dit que (E) est l'équation avec second
\ ] ) membre,etque(Eo) estl'équationsans
second membre associée.
-0
0
c
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(V)
.-t
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
478
Remplacement d'une ED scalaire
d'ordre 2 par un système de deux ED
scalaires d'ordre 1.
Résultat utile pour de nombreux
exercices, plutôt théoriques, sur les
équations différentielles linéaires scalaires
du second ordre.
Utile en pratique.
Généralités
1) Notations
Soient I un intervalle de ~. a,b,g : I ~ OC des applications continues.
On considère les ED linéaires scalaires du second ordre normalisées
(E) x" + ax' + bx = g
(Eo) x" + ax' + bx = 0,
d'inconnue x : I ~ lK deux fois dérivable.
On note S (resp. S 0 ) l'ensemble des solutions de (E) (resp. (E 0 )) sur/.
2) Structures de S et de S 0
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Pour tout (to,xo,x1) de I x OC x OC, il existe une solution et une seule x de
(E) x " + ax' + bx = g telle que { x}to) = xo .
J
- - - - - - - - - - - - - -
x (t
0
) = _ x_ , ____________ _,.
Preuve
On ramène l'étude de (E) à celle d'un système différentiel linéaire du l er ordre (cf. 8.1.2
{
x' =y
p. 433) (S)
,
b
.
y = - X -ay +g
D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (cf. 8.3.2 Théorème p. 455), il existe une solution unique
{
x(to) = x 0
{ x(to) = xo
(x , y) de (S) telle que
( )
, donc une solution unique x de (E) telle que
.
Y to = x1
x ' (to) = x1
1) S 0 est un JK-ev de dimension 2, et l'application S 0 ~ JK
2
, pour t 0 E I
fixé, est un isomorphisme de lK -ev.
x1-+(x(to) ,x ' (to))
2) S est un OC-espace affine de dimension 2, de direction So, et l'application
s ~ OC
2
'pour to E I fixé, est un isomorphisme de OC -espaces affines.
x1-+ (x(to) ,x ' (to))
Preuve
Résulte de 8.3.3 Prop. 2 p. 456 en se ramenant au système différentiel d'ordre 1
{
x' = y
y'= -bx -ay
{
x' = y
(resp.
,
b
).
y = - X -ay +g
•
Comme en 8.3.3 p. 456, la solution générale de (E) est la somme d'une solution particulière de (E) et de la solution générale de (Eo). On voit ainsi que la résolution de (E)
se ramène à la résolution de (Eo) et à la détermination d'au moins une solution de (E).