8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
• Dans une étude plutôt théorique d'ED linéaire à inconnue matricielle (ex. 8.3.8), on essaiera de garder l' aspect global des matrices et d'appliquer les formules de calcul de dérivées de sommes, produits, ... de matrices.
• Pour calculer l'exponentielle d'une matrice carrée A (ex. 8.3.9), on peut essayer :
- de voir si les puissances successives de A sont assez simples (notamment si A est nilpotente), et on pourra alors
+oo 1
obtenir eA à partir de sa définition : eA = L k! Ak
- de diagonaliser (ou trigonaliser) A:
k=O
A= P DP1 , P E GLn(IR), D = diag(À1 , ... , À. 17 ) ,
d' où:
• Dans une étude théorique d'exponentielle de matrice (ex. 8.3.10), penser à faire intervenir une dérivation .
- 8.3.6 Résoudre les systèmes différentiels sui vants
(variable t; inconnues x,y ... à valeurs réelles):
{
x' =y+ t 2
a)
y'= X - t 2
1
x' = - 2x - 4y + 4t + 1
b)
3
y'=-x+y+ - t2
2
{
x' = x + my + at
c)
,
y' = -mx + y + bt
{
x' = x + y + sin t
d)
l = -x+3y
{
x' = x - y + e 21
e)
y' = X+ 3y + t
1
x' = y+ z
f) l=z+x
z' = x +y - e1
1
x' = 4x - y - z + t
g)
< =X + 2y - Z + 2t
z = x-y+2z-t
(m,a,b) E IR 3
1
x'=3x - Sy - 18z + 25t + 45
h)
l = -2x+6z- 4t - 12
z' = 2x - 2y - 9z + llt + 23
1
x' = 3x + y - z + 1
i)
y' = X+ y + Z + e
1
z' = 2x + 2z
1
x' = -J3 y +z
j) y' = -J3 X + W
z' = x+J3w
w' =y+J3 z.
8.3.7
Soient A = ( ~ ~) , B = ( _ ~ _ ~) .
Résoudre
X'= XA + BX ,
d'inconnue
8.3.8 Soient n E N*, A E Mn (IR) symétrique positive, I
un intervalle de IR, X : l ~ Mn, 1 (IR) dérivable te lle que
X '= AX. Montrer que t r-----+ ll X(t)ll2 est croissante sur
1
! , où llV ll2 = (tVV) 2, pour tout V de Mn 1 (IR) .
8.3.9 Calculer e
1 A pour t E IR et A = ( ~ -1) 0 .
--- 8.3.10 Soit (A, B) E M n (OC)) 2 tel que :
'rit E IR, er Démontrer: AB= B A.
8.3.11
Soient
T E IR+ , A E Mn (OC) te ls que
ln-eTAEGLn(OC) , B: IR~ M,. , 1 (0C)
continu e e t
T-périodique.
Montrer que l'équation X ' = AX + B , d'in connue
X : IR ~ Mn , 1 (OC) , admet une et une seule solution
T-périodique.
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