Solution
On déduit x,y,z:
8.3 ·Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Conseils
d'où la solution générale du système différentiel proposé :
x(t) = 3 - sin t - cos t +À e - i + µ, e - i + v e
1
1 .
3
J
1
y (t) = 2 - 2
sm t - 2
cos t + À e - + v e
(À,µ, , v) E JR 3 .
1
1
z(t) = 2- "2 sint - "2 cos t + µ,e1
+ ve'
On peut contrôler, par un calcul fastidieux
mais pas trop long, que (x ,y,z) obtenu est
bien solution de (S).
8.3.7
'J Ici, a , b, c ,d sont donc des constantes.
Systèmes différentiels autonomes linéaires
d'ordre 1, à 2 inconnues, à coefficients constants
et sans second membre
Soit (a,b, c, d) E JR 4 . Considérons le système différentiel autonome linéaire
(S)
d'inconnues x,y: lR -----+ JR .
{
x' = ax + by
y'= ex+ dy
(
a
En notant A= c
! ) et, pour t E lR, X (t) = ( ~~~~), la résolution de (S) revient à celle de
l'équation différentielle autonome linéaire: X'= AX.
L'étude fait intervenir les valeurs propres À 1 ,À2 (dans C ) de A .
1er cas: (ÀJ ,À2) E JR 2 et ÀJ i= À2
Dans ce cas, A est diagonalisable dans M2 (JR) ; il existe P E GL2 (JR) telle que, en notant
D = ( À~ À 0
2
), on ait A = PD p-I. En notant V1 , V2 les colonnes de P , la solution générale de (E) sur lR est donnée par :
où (c1 ,c2) E JR 2 .
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