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Chapitre 8 • Équations différentielles
Solution
On résout, séparément, chacune de ces trois ED linéaires du premier ordre, à coefficients constants et avec second membre.
Résolution de (1)
La solution générale de l'ED sans second membre associée est t 1---+ À e - i,
ÀE IR.
On cherche une solution particulière de (1) sous la forme
t 1---+ u(t) =a+ bsint +ccost, (a,b,c) E IR 3 .
On a:
(1) {::::::::} V t E IR, b cos t - c sin t = -a - b sin t - c cos t + 1 - cos t
1
-a + 1=0
{::===
-c = -b
b = -c-1
1
1
Une solution particulière de (1) est donc t 1---+ 1- - sint - - cost.
2
2
1
1
La solution générale de (1) est : u : t 1---+ u(t) = 1 - l sin t - l cos t +À e -i,
À.E R
Résolution de (2)
La solution générale de l'ED sans second membre associée est t 1---+ µ, e -i,
µ, E IR.
On cherche une solution particulière de (1) sous la forme
t 1---+ v(t) =a+ b sint + ccost, (a,b,c) E IR 3 .
On a:
(2) {::::::::} V t E IR, b cos t - c sin t = -a - b sin t - c cos t + 1 - sin t
1
-a + 1=0
{::===
-c = -b-1
b = - c
1
1
Une solution particulière de (2) est t 1---+ 1 - 2
sin t + 2
cos t.
1
1
La solution générale de (2) est v : t 1---+ v(t) = 1 - 2
sin t + 2
cos t + µ, e - i ,
µ, E IR.
• Résolution de (3)
La solution générale de l'ED sans second membre associée est: t 1---+ v e
1 , v E R
On cherche une solution particulière de (1) sous la forme
t 1---+ w(t) =a+ bsint +ccost, (a,b,c) E IR 3 .
On a:
(3) {::::::::} Vt E IR, bcost - csint =a+ bsint + ccost - 1 + sint + cost
l
a-l=O
{::===
-c = b + 1 {::::::::} (a= 1, b = 0,
b=c+l
Une solution particulière de (3) est t 1---+ 1 - cos t.
La solution générale de (3) est : w : t 1---+ w(t) = 1 - cos t + v e
1
, v E R
Conseils