Chapitre 8 • Équations différentielles
Ces trois équations différentielles
portent séparément sur les inconnues
u,v ,w.
Q Après calculs.
'a Après calculs.
,..
Rappel de notation : T 11 .s (IK) est
\J, l'ensemble des matrices triangulaires
supérieures à coefficients dans lK.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
466
Méthode utilisée en pratique.
On note Y= p-I X ,
(
te
1
- t
)
B(t ) = te' -_2; + 2 , d'où :
X' = AX + B {:::::::} Y' = DY+ p-l B.
Pui,, eo """"' Y ~ ( ~ ) , ""' •
1
u' = -u - t
Y'= DY + p-I B {:::::::} v' = v + te 1
w' = 2w + t - 1
La résolution de ces trois équations différentielles linéaires scalaires du 1 cr ordre donne :
l
u(t) = -t + l + Ae1
v(t.) = (~t
2 + B) e
1
,(A, B ,C) E JR?. 3 .
1
1
w(t) = - - t + - + ce2r
2
4
Comme X = P Y, on conclut :
8) Cas général
1
1
x(t) = -t + 1 + 2
t 2 e
1 + Ae- t +Be'
1
1
y(t) = t - - + -t 2 e 1 + Be 1 - 2Ce 21
2 2
3
5
z(t) = - - t + - + Ae1 + Ce 21
2
4
La méthode générale de variation des constantes (cf. 8.3.5 2) p. 459) reste bien sûr
applicable. On pourra envisager son utilisation lorsque B n'est pas une exponentiellepolynôme vectorielle.
2) Cas où A est trigonalisable
Rappelons (cf. Algèbre et géométrie MP) que toute matrice de M n (C) est trigonalisable. Lorsque lK = JR, on utilisera une trigonalisation de A dans M n (C).
a) Résolution de (Eo)
Puisque A est trigonalisable, il existe P E GLn(lK) et T E Tn ,s (lK) telles que
A= PTP -
1 •
On reprend le calcul effectué lorsque A était diagonalisable (1) a) p. 463) en remplaçant D par T: X ' = AX {:::::::::>Y' = TY, où Y= p -
1 X .
En notant:
(
t11
et
0
1
Y~= t11 Y1 + · · · + t1n Yn
Y2 = t 22Y2 + .. . + t2nYn
on a donc : Y' = T Y {:::::::::>
.
'
Yn = tnnYn
On résout ce système différentiel « en cascade » en partant de la dernière équation.