Dans (Ekl, on a remplacé
X(t) pare
111 k
1 Z(I),
X'(t) pare
111 k
1 (mkZ(t) + Z ' (t)),
puis on a simplifié par e"'k
1
•
~ Il n'est pas utile de mémoriser ce résultat.
-0
0
c
::J
0
~ Après calculs.
N\:!-1
.._,
n Après calculs.
o.
0
u
Nous allons utiliser p -
1 •
Le calcul de p - I peut être fait, en
pratique, à la calculette.
8.3 ·Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Z : l -----+ Mn , 1 (IK) étant la nouvelle inconnue ; X est solution de (Ek) sur l si et seulement si Z est solution de (Fk) sur l, où :
(Fk) V t El, Z'(t) =(A - mkin)Z(t) + Pk(t)Uk.
En utilisant la diagonalisation de A (notation de a) p. 463), et en notant W = p-I Z,
on est ramené à la résolution de :
(
Pki:(t)) = Pk(t)P -'Uk.
Pkn(t)
Puis, en notant ( :: ) ~ W et
on se ramène à :
V i E {l,. .. ,n}, V t E / , w~(t) = ()"i - mk)Wi(t) + Pki(t).
• En pratique, on résout chacune des équations différentielles linéaires scalaires
d'ordre l ainsi obtenues; on en déduit les Wi (1 ~ i ~ n), puis Z à l'aide de Z = PW.
Enfin, on applique le principe de superposition des solutions (cf. {3) p. 464).
• Poursuivons l'étude théorique. L'équation différentielle linéaire scalaire du 1er ordre
\:/t E / , w;(t) = (Àt -mk)Wj(t) + Pki(t)
admet au moins une solution polynomiale de degré : {
deg(pk;)
si mk # À;
1 + deg(pk;) si mk = À;
On en déduit que (E) admet au moins une solution exponentielle-polynôme vectorielle
N
X: t 1--+ L e"'k 1 Qk(t)Uk, où U1 ,. .. ,UN E E et, pour chaque k de {1 ,. .. , N}, Qk est un
k=l
polynôme de degré :
~
1.;; ) ,;; N
1
Max (degP;)
"' 1 + Max (degP;)
l ~ i ~ N
si mk ~ Spoc (A)
si mk E Spoc (A)
où Spoc (A) désigne le spectre de A dans IK, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres de A
dans !K.
Exemple
Résoudre
y'= -2x + 3y + 2z + te
1
-
2t + 2 , d'inconnue (x.y.z.) : R ~ R
3 •
1
x' = 3x - 2y - 4z + te
1
- t
1
z' = 3x - 3y - 4: : : : - 1
1
-2
3
-3
-4
2
-4
) ; o" cakule le poly"ôme carnctéri,.lque XA de A, et o"
obtient XA(À) =-(À - 2)(À - l)(J... + 1) . La matrice A, carrée d'ordre 3, admet trois
valeurs propres distinctes ( -1, 1, 2), donc est diagonalisable dans M3 (IR).
On calcule denecteun; propre""ociés; on obtient, pac exemple.( D , ( D , ( -D '
respectivement.
Ainsi, A= P DP- 1 , où:
1
0
(
-1
D=
~
0
1
0
0) (-1
~ , p-1 =
~ -1
-1
-~).
-]
465