11
Sn = L q(J) ek
k= -11
So + ... +Sn
• C11 =
pour n E N
n + 1
n
• u,, = L ek pour n E N
k=-n
UQ + . .. +Un
• Un =
pour n E N
n +l
/. a) Établir les fomrnles suivantes :
1) "ln EN, co(U 11 ) = l
sin (n + !)t
2) 'Vn EN, 'Vt E IR - n Z, u 11 (t) =
t
sin2
3) 'Vn EN, 'Vt E lR - n Z ,
(
n + 1 )2
1
sin2
- t
U,,(t) = - -
t
n + 1
.
srn -
2
Ces deux formules sont utiles dans de nombreux problèmes sur les séries de
1 Il + 1
Fourier. Attention à ne pas confondre n + - et - -.
2
2
b) Soit aE]O;n[; on note D a=[- n, - a] U [a;n].
Montrer que la suite (Un ) 11 EN converge uniformément vers
0 sur Da .
li. a) Établir les formules suivantes :
1) "ln EN, 'Vt E lR,
2) "ln E N, 'Vt E lR,
3) 'Vn E N, 'Vt E lR,
l f"
Sn(t) = -
f(t - v) u,, (v)v
2n - rr
1 f"
C11 (t) = -
f(t - v) Un(v)v
2n - rr
1
IC,,(t) - f(t) I::;; 2
n f' ."
lf(t - v) - f(t) I U11 (v)v.
Problèmes
b) Démontrer que f est uniformément continue sur lR.
On obtient une convergence uniforme, mais pour la suite (C 11 ) 11 et non pas, à
priori, pour la suite (S11 ),, .
c) Conclure par le théorème de Féjer: la suite (Cn)nEN
converge uniformément vers f sur lR .
P 7.3 Propagation de la température dans une
barre de longueur finie
Historiquement, les séries de Fourier ont été introduites pour la résolution de
ce type de problème de Physique.
La température d'une barre de longueur n , maintenue à
ses ex trémités à la température 0, est une fonction
u : L\ = [0; n] x [0; +oo[-----+ IR, continue sur Ll, telle
au au a 2 u
que - , - , - 2
existent et sont continues sur L\ , vériat ax ax
fiant :
1
au
a 2 u
'V(x,t) EL\, - (x ,t) = - 2
(x,t)
at
ax
'Vt E [O; +oo[, u(O,t) = u (n,t) = 0
'Vx E [O,n] , u(x ,O) = f(x)
où
f: [O,n]-----+ JR, de classe C
1 , telle que
f(O) = f(n) = 0 , donne la température de la barre à l'instant t =O.
Montrer que, pour tout (x ,t) E L\ :
+oo
2
u(x,t) = L b 11 e -
11 'sin nx,
n= I
où, pour tout n E N* :
2 lirr
bn = -
f( y ) sin ny d y .
n 0
Remarquer les rôles séparés des deux variables t x dans chaque terme de la série.
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