-0
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
428
Chapitre 7 • Séries de Fourier
b) En déduire :
a ) Va E]O; +oo[,
1
a+ l
1
Jnr (x) dx = - ln(2rr ) + a ln a - a
a
2
{"
{3) Vn E N, Va E]O; + oo[, Jo ln r (a + x )dx
n- 1
)
' °""
n
n(n - 1
= L.) a + k) ln(a + k) - na + - ln(2rr) -
.
k=O
2
2
7.4.14 Pour n E N*, on note
ln = fo
1
(1nr(x )) cos 2rrnx dx
et
l n = Io
1
cotan rr x sin 2rrnx dx
(on montrera l'existence de ces intégrales).
Problèmes
P 7.1 Convolution dans CT
On note ic i CT l'ensemble des applications IR -----+ C continues et T-périodiques, T E R + fixé. Pour (f,g ) E (C7) 2 ,
on note f * g (appelée convoluée de f et g ) l'application
de IR dans C définie par : Vt E IR ,
(f * g) (t) = 2_ {
7
f (u )g (t - u) du .
T Jo
Cf.aussi 3.5.1,Exemple 1).
1) a) Vérifier que * est une loi de composition interne
dans CT, c'est-à-dire :
b) Montrer que (CT, +, ·, *) est une C -algèbre commutative
et associative.
O n note, pour n E Z , en : ~ --'> C
/ t----+elllWl
p. 414).
(cf. 7.2.2 Notation
2) a) Montrer, pour tous n de Z , f,g de CT:
1) CnCf) = (f * e,,)(0)
2) en* e,, =en
3) f * e,, = c,,(f)e,,
4) c,, Cf * g) =c,, (f)c,,(g).
b) Retrouver ainsi l'associativité de * (cf. 1) b)).
c) Un exemple
1
a) Etablir : Vn E N* , !,, = - J,,.
4n
(Utiliser la formule des compléments, exercice 7.4. 12).
b ) Montrer : 'Vn EN*, 1 11 = 1,
d'où: Vn EN* ,
1
!,, = - .
4n
7.4.1 5 On note 'lf; : ] 0; + oo[---+ R
r ' (x )
Xt--+ r (x)
a) Montrer: Va E]O; +oo[, Io
1
'lf;(a + x )dx = ln a.
b) Etablir : 'Vn E N*, !a
l
rr
'lf;(x)sin2rrnx dx = - -.
0
2
(Utiliser l'exercice 7.4.14).
On s'apercevra, sur cet exemple, que f * g est, en général, plus régulière
quefetque g.
Soit f : IR -----+ C , 2rr-périodique, paire, telle que :
Vt E [0 ; rr ], f( t) = t.
a ) Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de f
(cf. aussi 7.4. Exemple 2 p. 424 ).
{3 ) Défi nir f * f (par pari té, 2rr-périodicité, et une formule lorsque t E [0; rr ] ).
y ) En déduire les sommes de séries suivantes :
+oo
1
+oo
1
J; (2p + 1)4 ' J; (2p + l)s ·
3) a) Montrer que Cr n'a pas de neutre pour * ·
b) Existe-t-il des diviseurs de zéro dans le pseudo-anneau
(Cr, + ,*), c'est-à-dire des éléments f de Cr tels que :
f -:/= 0 et (3g E Cr - {O} ,f * g = O)?
La définition d'un pseudo-anneau est celle d'un anneau, mais sans l'existence
d'un neutre pour la deuxième loi (cf. Algèbre MPSI ,
§ 2.3.1, Définition) .
4) Résoudre l'équation f * f = f, d'inconnue f E Cr.
P 7.2 Théorème de Féjer
Soit f : IR -----+ C une application 2rr-périodique et continue. On note :
• ek : IR -----+. C , pour k E Z
tt---> e'''
• S,, la nème somme partielle de la série de Fourier de f,
pour tout n E N, c 'est-à-dire:
0
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Chapitre 7 • Séries de Fourier
b) En déduire :
a ) Va E]O; +oo[,
1
a+ l
1
Jnr (x) dx = - ln(2rr ) + a ln a - a
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2
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{3) Vn E N, Va E]O; + oo[, Jo ln r (a + x )dx
n- 1
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= L.) a + k) ln(a + k) - na + - ln(2rr) -
.
k=O
2
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7.4.14 Pour n E N*, on note
ln = fo
1
(1nr(x )) cos 2rrnx dx
et
l n = Io
1
cotan rr x sin 2rrnx dx
(on montrera l'existence de ces intégrales).
Problèmes
P 7.1 Convolution dans CT
On note ic i CT l'ensemble des applications IR -----+ C continues et T-périodiques, T E R + fixé. Pour (f,g ) E (C7) 2 ,
on note f * g (appelée convoluée de f et g ) l'application
de IR dans C définie par : Vt E IR ,
(f * g) (t) = 2_ {
7
f (u )g (t - u) du .
T Jo
Cf.aussi 3.5.1,Exemple 1).
1) a) Vérifier que * est une loi de composition interne
dans CT, c'est-à-dire :
b) Montrer que (CT, +, ·, *) est une C -algèbre commutative
et associative.
O n note, pour n E Z , en : ~ --'> C
/ t----+elllWl
p. 414).
(cf. 7.2.2 Notation
2) a) Montrer, pour tous n de Z , f,g de CT:
1) CnCf) = (f * e,,)(0)
2) en* e,, =en
3) f * e,, = c,,(f)e,,
4) c,, Cf * g) =c,, (f)c,,(g).
b) Retrouver ainsi l'associativité de * (cf. 1) b)).
c) Un exemple
1
a) Etablir : Vn E N* , !,, = - J,,.
4n
(Utiliser la formule des compléments, exercice 7.4. 12).
b ) Montrer : 'Vn EN*, 1 11 = 1,
d'où: Vn EN* ,
1
!,, = - .
4n
7.4.1 5 On note 'lf; : ] 0; + oo[---+ R
r ' (x )
Xt--+ r (x)
a) Montrer: Va E]O; +oo[, Io
1
'lf;(a + x )dx = ln a.
b) Etablir : 'Vn E N*, !a
l
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0
2
(Utiliser l'exercice 7.4.14).
On s'apercevra, sur cet exemple, que f * g est, en général, plus régulière
quefetque g.
Soit f : IR -----+ C , 2rr-périodique, paire, telle que :
Vt E [0 ; rr ], f( t) = t.
a ) Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de f
(cf. aussi 7.4. Exemple 2 p. 424 ).
{3 ) Défi nir f * f (par pari té, 2rr-périodicité, et une formule lorsque t E [0; rr ] ).
y ) En déduire les sommes de séries suivantes :
+oo
1
+oo
1
J; (2p + 1)4 ' J; (2p + l)s ·
3) a) Montrer que Cr n'a pas de neutre pour * ·
b) Existe-t-il des diviseurs de zéro dans le pseudo-anneau
(Cr, + ,*), c'est-à-dire des éléments f de Cr tels que :
f -:/= 0 et (3g E Cr - {O} ,f * g = O)?
La définition d'un pseudo-anneau est celle d'un anneau, mais sans l'existence
d'un neutre pour la deuxième loi (cf. Algèbre MPSI ,
§ 2.3.1, Définition) .
4) Résoudre l'équation f * f = f, d'inconnue f E Cr.
P 7.2 Théorème de Féjer
Soit f : IR -----+ C une application 2rr-périodique et continue. On note :
• ek : IR -----+. C , pour k E Z
tt---> e'''
• S,, la nème somme partielle de la série de Fourier de f,
pour tout n E N, c 'est-à-dire: