On peut prendre, par exemple :
l
p = ~(lzl+ Ra)
si Ra=/: +oo
p = lzl + 1
si Ra= + oo.
Prépondérance classique : l'exponen( 1 l)"
tielle
;
l'emporte sur la
puissancen 1 = n.
~ Cf.§ 6.1.2 Exemple 3), p. 355.
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Exercice 6.2.1 .
6.2.3
Remarquer l'analogie avec le produit
de deux polynômes.
La somme de la série-produit est égale
au produit des sommes des deux séries.
6.2 • Opérations sur les séries entières
l)Puisque (Vn EN*, lctnl :::;lnanl) , ona Ra~ Ra' ·
2) Soit z E tC tel que lzl < Ra. Il existe p E IR?.+ tel que lzl < p < Ra. On a :
D'autre part, n (~)n----+ O.
p
noo
On déduit : na 11 zn ----+ 0, et donc 1z1 :::; Ra' .
11 00
Ceci prouve : [O; Ra [ C [O; Ra' ] , et donc Ra• ~ Ra.
Finalement : Ra· = Ra .
Remarques:
•
1) En appliquant le résultat précédent à une série entière primitive L ~ z
11 +
1 à la place
0
n + 1
11:;;,
a le même rayon que Lanzn.
n:;;,O
2) Soient L a 11 z
11 une série entière et F une fraction rationnelle autre que la fraction nulle.
n:;;,O
Il est clair que la démonstration de la Proposition précédente peut être adaptée pour établir
que L F(n)a 11 zn a le même rayon que L a 11 z
11
•
n
n :;;,O
"sinn
Par exemple, L - 2
-z
11
est de rayon 1, puisqu'elle a le même rayon que
n:;;o l n
Z::sinn z
11
•
n:;;,O
3) Nous montrerons plus loin (6.4, Théorème 2 p. 372) que, en se restreignant à z réel, la
somme de la série entière L a 11 z
11 est dérivable sur] - R; R[ et a pour dérivée la somme de
n:;;,O
la série entière dérivée L na 11 zn-I .
n:;;, I
Produit de deux séries entières
On appelle série entière produit (ou : produit de Cauchy) de deux séries entières
L anzn, L bn z
11
, la série entière L CnZn définie par :
n :;;,O
n :;;,O
n :;;,O
Vn E N,
n
Cn = Lakbn- k·
k=O
Soient L a 11 z
11
, L b 11 z
11 deux séries entières de rayons et de sommes respectiven:;;oo
n:;;oo
ment notés Ra, Rb et Sa ,Sb, et L c 11 z
11 la série entière produit, de rayon et de somme
n :;;,O
notés Rc,Sc. On a:
1) Re~ Min(Ra , Rb)
2)V z E C , (l zl < Min(Ra ,Rb) ===} Sc(z) = Sa(z) Sb(Z)).
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