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Chapitre 6 • Séries entières
Somme de deux séries numériques
convergentes.
Ces exemples illustrent la remarque
précédente.
Dans les exemples 2) et 3),deux termes
en z" s'éliminent dans l'addition.
6.2.2
Propriété utile en pratique.
Preuve
1 ) Soit z E C tel que lzl < Min(Ra,Rb).
Comme 1z1 < Ra et 1z1 < Rb , les deux séries numériques L an zn et L bn z'' convergent ; d'après
n;;.O
n;;.O
4.1.2 Prop. 1, la série numérique L(an zn + bnzn) converge et:
n;;.O
+oo
+oo
+oo
L(a,, z
11 +bnz
11
) = La,, zn + Lbn z
11
•
n=O
n=O
n=O
Ceci montre le résultat 1) annoncé.
2) Supposons, par exemple, Ra < Rb.
D'après 1), on a déjà Ra+b ~ Ra.
Soit p E] Ra; Rb [. La série numérique Lan p" diverge (car p > Ra) et la série numérique L b,, p"
n;;.O
n;;.O
converge (car p < Rb) , donc la série numérique L(a 11 /
1 + bnp") diverge.
n;;,O
Ainsi, on a montré: Vp E]Ra ; Rb[ , p ~ Ra+b. et donc Ra+b ~ Ra,
et finalement Ra+b =Ra= Min(Ra.Rb).
Remarque: Lorsque Ra = Rb, il se peut que Ra+b = Ra ou que Ra+b > Ra.
Exemples:
•
1) L z" et L nz" sont de rayon
11 :;,0
n;;,O
et leur série entière somme LO+ n)z" est de
n;;,O
rayon 1.
2) L z" et L (2-" - l)z
11 sont de rayon 1 et leur série entière somme L 2-n z" est de
n;;,O
n;;,O
n;;,O
rayon 2.
3) L z" et L - z" sont de rayon 1 et leur série entière somme L Oz" est de rayon oo.
n;;,O
11;;,0
n;;,O
Dérivation
On appelle série entière dérivée d'une série entière L anzn
n ;;.O
la série entière L nanzn- I , ou encore L (n + l)an+ 1 zn.
n ;;, I
n ;;,O
La série entière dérivée d'une série entière a le même rayon que celle-ci.
Preuve
Notons R a (resp. Ra•) le rayon de La,, z
11
n;;,O
(resp. L:na,,z"1 ).
n;;, l
Comme, pour tout z de C*, L na,,zn - l converge si et seulement si L nanz" converge, Ra• est aussi
le rayon de L na,, zn.
n ) l
n;;, l
n;;, l