5.3 ·Séries d'applications
Exemple d'utilisation du théorème sur convergence uniforme et intégration sur un segment, pour une série
d'applications
Soient T E ]O; +oo[, f : IR-----+ IR T-périodique et continue. On note, pour tout n EN* :
f(nx)
g,, : IR -----+ IR, x t-----7 g" (x) = - - 2
- .
a) Montrer que la série d'applications L g,, converge normalement sur IR.
u ~ t
On note S la somme de cette série d'applications.
b) Montrer que S est continue sur IR.
n
1
T
1T
+oo l
7T2
c) Calculer
S (x) dx en fonction de
f (x) dx. On admettra : L 2 = - , cf. § 7.4.
o
o
n=I n
6
Solution
Conseils
a) Puisque f est continue sur le segment [O; T] , f est bornée sur [O; T], puis, Utilisation du théorème fondamental.
comme f est T-périodique, f est bornée sur IR.
On a alors:
*
~ llflloo
Vn EN, 'Vx E IR, lg,,(x)I"' - - 2
- ,
n
donc, pour tout n E N*, g 11 est bornée et l lg 11 l loo :::;; l lf~loo.
n
1
Comme la série L 2 converge, par théorème de majoration pour des séries à
n ~ I n
termes réels ~ 0, la série L l lg 11 l loo converge, et on conclut : la série d'applican ~ I
tions L g 11 converge normalement sur IR.
n ~ I
b) Puisque, pour tout n E N*, g 11 est continue sur IR et que L g 11 converge uniforn;:: l
mément sur IR, d'après un théorème du Cours, la somme S est continue sur IR.
c) Puisque, pour tout n E N*, g 11 est continue sur [0; T] et que L g,, converge uni11;:: 1
1
T
+oo
formément sur [O; T] , d'après un théorème du Cours, on peut permuter
et L :
0
11= 1
( S(x)dx = ( (~ g 1 1 (x)) dx = ~ ( ( g 11 (x) dx ) .
Jo
Jo n=I
n= I
Jo
On calcule, pour tout n E N*
1
T
1T f (nx) 1 1
11
T
1 1T
g 11 (x) dx =
-
2
-
dx = 3
f(t) dt= 2
f(t) dt.
o
o n
n o
n o
D'où:
f7' S(x)dx = ~ (~ 2
(
f(t)dt) = (~ ~ 2 ) ( f(t)dt.
lo
n=I
Jo
11 = 1
Jo
On conclut:
1
T
1T21T
S(x) dx = -
f(x) dx.
0
6 0
l If I~
00 ne dépend pas de x.
n
Exemple de Riemann, 2 > 1.
Il en résulte que la série d'applications
L 811 converge uniformément,
n ~ l
absolument, simplement, sur IR.
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité, pour une série
d'applications.
Utilisation du théorème du Cours sur
convergence uniforme et intégration sur
un segment, pour une série d'applications.
Changement de variable
l
dt
t - nx x - - dx - -
-
'
- n'
- n'
puis, comme f est T-périodique, on a :
1
11T 1T
f = n
f.
0
0
La lettre t ou x est ici muette.
333
Exemple d'utilisation du théorème sur convergence uniforme et intégration sur un segment, pour une série
d'applications
Soient T E ]O; +oo[, f : IR-----+ IR T-périodique et continue. On note, pour tout n EN* :
f(nx)
g,, : IR -----+ IR, x t-----7 g" (x) = - - 2
- .
a) Montrer que la série d'applications L g,, converge normalement sur IR.
u ~ t
On note S la somme de cette série d'applications.
b) Montrer que S est continue sur IR.
n
1
T
1T
+oo l
7T2
c) Calculer
S (x) dx en fonction de
f (x) dx. On admettra : L 2 = - , cf. § 7.4.
o
o
n=I n
6
Solution
Conseils
a) Puisque f est continue sur le segment [O; T] , f est bornée sur [O; T], puis, Utilisation du théorème fondamental.
comme f est T-périodique, f est bornée sur IR.
On a alors:
*
~ llflloo
Vn EN, 'Vx E IR, lg,,(x)I"' - - 2
- ,
n
donc, pour tout n E N*, g 11 est bornée et l lg 11 l loo :::;; l lf~loo.
n
1
Comme la série L 2 converge, par théorème de majoration pour des séries à
n ~ I n
termes réels ~ 0, la série L l lg 11 l loo converge, et on conclut : la série d'applican ~ I
tions L g 11 converge normalement sur IR.
n ~ I
b) Puisque, pour tout n E N*, g 11 est continue sur IR et que L g 11 converge uniforn;:: l
mément sur IR, d'après un théorème du Cours, la somme S est continue sur IR.
c) Puisque, pour tout n E N*, g 11 est continue sur [0; T] et que L g,, converge uni11;:: 1
1
T
+oo
formément sur [O; T] , d'après un théorème du Cours, on peut permuter
et L :
0
11= 1
( S(x)dx = ( (~ g 1 1 (x)) dx = ~ ( ( g 11 (x) dx ) .
Jo
Jo n=I
n= I
Jo
On calcule, pour tout n E N*
1
T
1T f (nx) 1 1
11
T
1 1T
g 11 (x) dx =
-
2
-
dx = 3
f(t) dt= 2
f(t) dt.
o
o n
n o
n o
D'où:
f7' S(x)dx = ~ (~ 2
(
f(t)dt) = (~ ~ 2 ) ( f(t)dt.
lo
n=I
Jo
11 = 1
Jo
On conclut:
1
T
1T21T
S(x) dx = -
f(x) dx.
0
6 0
l If I~
00 ne dépend pas de x.
n
Exemple de Riemann, 2 > 1.
Il en résulte que la série d'applications
L 811 converge uniformément,
n ~ l
absolument, simplement, sur IR.
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité, pour une série
d'applications.
Utilisation du théorème du Cours sur
convergence uniforme et intégration sur
un segment, pour une série d'applications.
Changement de variable
l
dt
t - nx x - - dx - -
-
'
- n'
- n'
puis, comme f est T-périodique, on a :
1
11T 1T
f = n
f.
0
0
La lettre t ou x est ici muette.
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