.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
332
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
R 11 est continue par morceaux car
Il
R11 = S - S11,et Set S,. = L f k
k=O
sont continues par morceaux.
1
b
Il
On peut permuter
et L car il ne
a
k=O
s'agit ici que d'une somme d'un nombre
fini de termes (linéarité de l'intégrale).
Méthode importante en pratique, à
mettre en œuvre lorsque le théorème
p. 362 ne s'applique pas.
Exemple d'égalité entre une intégrale et
une somme de série. On développe la
fonction qui est sous l'intégrale en une
série de fonctions, puis on montre qu'on
peut permuter intégrale et série.
On va pouvoir conclure, car, dans cet
exemple, R., (x ) est calculable.
+oo
Notons S = L fk et supposons S continue par morceaux sur [a; b]. Alors, pour tout n de N,
k=O
R 11 est continue par morceaux sur [a ,b] et on a:
Si [b R 11 (x) dx ~ O,alors t ( [b fk(x ) c1x) ~ [b S(x) dx et ainsi
la
1100
k=O 1 a
1100 la
t;olb fk(x) dx converge et: ~lb fk (x) dx =lb S(x) dx =lb(~ f k(x)) dx.
{ b +oo
On pourra retenir, schématiquement que, pour pouvoir permuter l a et L, il suffit de mona
11=0
trer que l'intégrale du reste tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
L'application de cette remarque est plus fine que celle du Th. p. 330, car il se peut que
l
b
~~
R 11 (x) dx ~ 0 sans que R,, ~ O.
a
1100
1100
Cette remarque s'applique aussi à des intégrales sur un intervalle quelconque.
Exemple:
1
1
dx
+-xi ( - l )"
Montrer: Va > 0,
- L
0 l + x" - ,,= 0 na + 1 •
On remarque d'abord : V x E [O; 1 [,
Considérons la série d'applications L f11. où f,, : [O; 1] ---+ IR . Cette série L f 11 conver11 ~0
x t-----+ (-x a) 11
11 ~0
ge simplement sur [O; l[. Pour tout (n,x ) de N x [O; l[, on a:
+oo
+oo
( a)11+ 1
R11(x) = ~ fk(x ) = ~ (-xal = _-_x _ _
~
~
l+ xa
k=11+1
k=11+ I
Pour tout n de N, R 11 est continue sur [0; 1 [ et prolongeable par continuité en l , donc R 11
est intégrable sur [0; l[, et:
1
f' R11(x) dxl = {l x
_ f. _ 1<_ 11+ _ 1 _) dx ~ {l x a(11+ I) dx = __ l _ _ ~O.
lo
lo 1 + x a
lo
a(n + 1) + 1 1100
Donc L Io
1
( - x a ) 11 dx converge et :
11~0 O
Nous verrons plus loin (5.3.6 p. 341) le théorème de convergence dominée.
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
332
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
R 11 est continue par morceaux car
Il
R11 = S - S11,et Set S,. = L f k
k=O
sont continues par morceaux.
1
b
Il
On peut permuter
et L car il ne
a
k=O
s'agit ici que d'une somme d'un nombre
fini de termes (linéarité de l'intégrale).
Méthode importante en pratique, à
mettre en œuvre lorsque le théorème
p. 362 ne s'applique pas.
Exemple d'égalité entre une intégrale et
une somme de série. On développe la
fonction qui est sous l'intégrale en une
série de fonctions, puis on montre qu'on
peut permuter intégrale et série.
On va pouvoir conclure, car, dans cet
exemple, R., (x ) est calculable.
+oo
Notons S = L fk et supposons S continue par morceaux sur [a; b]. Alors, pour tout n de N,
k=O
R 11 est continue par morceaux sur [a ,b] et on a:
Si [b R 11 (x) dx ~ O,alors t ( [b fk(x ) c1x) ~ [b S(x) dx et ainsi
la
1100
k=O 1 a
1100 la
t;olb fk(x) dx converge et: ~lb fk (x) dx =lb S(x) dx =lb(~ f k(x)) dx.
{ b +oo
On pourra retenir, schématiquement que, pour pouvoir permuter l a et L, il suffit de mona
11=0
trer que l'intégrale du reste tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
L'application de cette remarque est plus fine que celle du Th. p. 330, car il se peut que
l
b
~~
R 11 (x) dx ~ 0 sans que R,, ~ O.
a
1100
1100
Cette remarque s'applique aussi à des intégrales sur un intervalle quelconque.
Exemple:
1
1
dx
+-xi ( - l )"
Montrer: Va > 0,
- L
0 l + x" - ,,= 0 na + 1 •
On remarque d'abord : V x E [O; 1 [,
Considérons la série d'applications L f11. où f,, : [O; 1] ---+ IR . Cette série L f 11 conver11 ~0
x t-----+ (-x a) 11
11 ~0
ge simplement sur [O; l[. Pour tout (n,x ) de N x [O; l[, on a:
+oo
+oo
( a)11+ 1
R11(x) = ~ fk(x ) = ~ (-xal = _-_x _ _
~
~
l+ xa
k=11+1
k=11+ I
Pour tout n de N, R 11 est continue sur [0; 1 [ et prolongeable par continuité en l , donc R 11
est intégrable sur [0; l[, et:
1
f' R11(x) dxl = {l x
_ f. _ 1<_ 11+ _ 1 _) dx ~ {l x a(11+ I) dx = __ l _ _ ~O.
lo
lo 1 + x a
lo
a(n + 1) + 1 1100
Donc L Io
1
( - x a ) 11 dx converge et :
11~0 O
Nous verrons plus loin (5.3.6 p. 341) le théorème de convergence dominée.