-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
328
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Solution
Il
a) Pour tout n E N* et tout x E [O; +oo[, n L xk i= 0, donc f,, (x) existe.
1) Soit x E [0; +oo[.
• La série L f,, (x) est alternée.
n ): I
1
• lfn(x) I = - , -, -
~ -, donc lf,,(x)I
n
n.L: x k
k=O
• La suite (l.f. 1 (x)l)
11
;;. 1
est décroissante.
k=O
----+ o.
11 00
D'après le TSCSA, la série L fn (x) converge.
" ~ '
Ceci montre que la série d'applications L f,, converge simplement sur [O; +oo[.
n ~ I
+oo
2) Puisque la série L j,, (x) relève du TSCSA, en notant R 11 (x ) = L fk(x) le
n): J
k = 11+ I
reste d'ordre n, on a :
\;/ n E N* ' \;/X E [O; +oo[,
l
1
IRn(x)I ~ IJ,,+1Cx)I = - - - - - ~ - - ,
n+I
n + 1
(n + 1) L: x k
k=O
1
d'où: V n E N*, llRnlloo ~ - - , et donc llRnlloo ----+ O.
n + 1
1100
On conclut : la série L f,, converge uniformément sur [0; +oo[.
n ~ I
b) Puisque, pour tout n E N*, f,, est continue sur [O; +oo[ et que L f,, converge
n): I
uniformément sur [O; +oo[, d'après un théorème du Cours, S est continue sur
[O; +oo[.
c) On a, pour tout n EN* :
(- 1)"
(- 1)"
f,,(x) = - , -, -
= n( l +x + · · · +x" )
nl: xk
k=O
-----+ O.
X--+ +oo
Puisque, pour tout n E N* , J,, (x ) -----+ 0 et que ~ f 11 converge uniformément
X --+ +oo
L_,;
11 ): 1
sur [O; + oo[, d'après un théorème du Cours, on conclut: S(x) ----+ O.
X--+ +oo
Les méthodes à retenir
Conseils
On s'assure d'abord de l'existence de f,, (x) .
(- 1)"
n
fn(x) = -
1
-
1
- et n I: xk > O.
' °"' k k=O
n ~ x
k=O
Il
On a: I: xk ): !.
k=O
n+ I
n
n + 1 ): n > 0 et I: x k): I: xk > 0,
k=O
k=O
u+I
n
donc (n + 1) L ): n L xk > 0, d'où
k=O
k=O
IJ,,+ 1 (x)I :::;; lf,,(x)I.
Utilisation du théo rème sur convergence
uniforme et continuité, pour une série
d'applications.
Utilisation du théo rème sur convergence
uniforme et limite, pour une série
d'applications.
Convergence uniforme et limite ou continuité, pour une série d'applications
• Pour montrer que la somme d'une série de fonctions admet une limite en un point ou est continue en un
point, on essaiera, en général, d'appliquer le théorème du § 5.3.2 p. 325 (pour une limite), le théorème du § 5.3.3
p. 326 (pour la continuité en un point fixé) , ou le corollaire 2 p. 327 (pour la continuité sur tout l'intervalle d'étude) (ex. 5.3.17 à 5.3.20, 5.3.22).
0
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Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Solution
Il
a) Pour tout n E N* et tout x E [O; +oo[, n L xk i= 0, donc f,, (x) existe.
1) Soit x E [0; +oo[.
• La série L f,, (x) est alternée.
n ): I
1
• lfn(x) I = - , -, -
~ -, donc lf,,(x)I
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k=O
• La suite (l.f. 1 (x)l)
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est décroissante.
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11 00
D'après le TSCSA, la série L fn (x) converge.
" ~ '
Ceci montre que la série d'applications L f,, converge simplement sur [O; +oo[.
n ~ I
+oo
2) Puisque la série L j,, (x) relève du TSCSA, en notant R 11 (x ) = L fk(x) le
n): J
k = 11+ I
reste d'ordre n, on a :
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d'où: V n E N*, llRnlloo ~ - - , et donc llRnlloo ----+ O.
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On conclut : la série L f,, converge uniformément sur [0; +oo[.
n ~ I
b) Puisque, pour tout n E N*, f,, est continue sur [O; +oo[ et que L f,, converge
n): I
uniformément sur [O; +oo[, d'après un théorème du Cours, S est continue sur
[O; +oo[.
c) On a, pour tout n EN* :
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= n( l +x + · · · +x" )
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-----+ O.
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Puisque, pour tout n E N* , J,, (x ) -----+ 0 et que ~ f 11 converge uniformément
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11 ): 1
sur [O; + oo[, d'après un théorème du Cours, on conclut: S(x) ----+ O.
X--+ +oo
Les méthodes à retenir
Conseils
On s'assure d'abord de l'existence de f,, (x) .
(- 1)"
n
fn(x) = -
1
-
1
- et n I: xk > O.
' °"' k k=O
n ~ x
k=O
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k=O
k=O
IJ,,+ 1 (x)I :::;; lf,,(x)I.
Utilisation du théo rème sur convergence
uniforme et continuité, pour une série
d'applications.
Utilisation du théo rème sur convergence
uniforme et limite, pour une série
d'applications.
Convergence uniforme et limite ou continuité, pour une série d'applications
• Pour montrer que la somme d'une série de fonctions admet une limite en un point ou est continue en un
point, on essaiera, en général, d'appliquer le théorème du § 5.3.2 p. 325 (pour une limite), le théorème du § 5.3.3
p. 326 (pour la continuité en un point fixé) , ou le corollaire 2 p. 327 (pour la continuité sur tout l'intervalle d'étude) (ex. 5.3.17 à 5.3.20, 5.3.22).