~ Résultat utile en pratique.
,.
Rappel sur la série géométrique et sur la
\J.., série exponentielle dans une algèbre
normée de dimension finie.
La série géométrique réelle La"
n~O
converge car a E (O; 1 [.
5.3 ·Séries d'applications
Soient I un intervalle de JR, L Un : I ----+ E) une série d'appli. cations.
n;;,o
pour tout n de N, ln est continue sur I
L ln converge localement uniformément sur I
n ;;,O
+oo
alors L ln est continue sur l.
n=O
Soit A, une algèbre de dimension finie (associative, unitaire) normée, de neutre noté e.
Nous avons vu, dans le § 4.3.3 :
• Pour tout a de A tel que l la 11 < 1, la série géométrique L a
11 converge, e - a est inversible,
n;;,O
+oo
et:
L a
11 = (e - a) - I.
n=O
l
• Pour tout a de A, la série ' \""""' - an converge, et sa somme e st notée exp(a).
~n'
n;;,O .
L'application a ~ (e - a)1 est continue sur B(O; 1).
Preuve
Soit ex E [O; 1 [. La série d'applications L (a t---+ a
11
) est normalement convergente, donc uniformén;;,O
ment convergente, sur la boule fermée B' (0; ex), puisque, pour tout a de B' (0; ex) et tout n de N,
llanll ~ llall
11
~ exn, et que L ex
11 converge.
n;;,O
Comme, pour tout n de N, a t---+ an est continue sur B' (O; ex), il en résulte (cf. Th. p. 326) que
a t---+ (e - a )- 1 est continue sur B' (0 ; ex) , et ceci pour tout ex de [0; 1 [, donc a t---+ (e - a )- 1 est
continue sur B(O; 1).
Un raisonnement analogue montre la Proposition suivante.
L'application a ~ exp(a) est continue sur A.
Exemple d'utilisation du théorème sur convergence uniforme et limite et du théorème sur convergence uniforme et continuité, pour une série d'applications
(-1)"
On note, pour tout n EN*: f,, : [O; +oo[--+ IR, x t---+ f,, (x) =
,,
.
n.L:xk
k=O
a) Montrer que la série d'applications L f,, converge uniformément sur [O; +oo[.
n~ I
+oo
On note S la somme: S: [O; + oo[--+ IR, x t---+ S(x) = L f,, (x).
n= I
b) Montrer que S est continue sur [O; +oo[.
c) Déterminer la limite de S (x) lorsque x tend vers +oo.
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