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5.1 ·Suites d'applications
Si les applications J, 1 : [a ; b] -----+ lK sont continues et si (f, 1 ) 11 converge simplement mai s non uniformé ment sur
[a; b] vers une applicationf, il se peut que la suite (1b ln)
11
diverge (ex. 5.1.18), ou converge vers 1b f (ex.
5.l.17 a)), ou converge vers un élément différent de 1b f (ex. 5.l.17 b)).
{ b
Pour étudier une suite d ' intégrales J a J, 1 (x )dx , il n' est pas toujours nécessaire que soit évoquée la convergence
(notamment uniforme) de la suite de fonctions U 11 ) 11 , cf. plus loin § 5.1.6.
Exercices
5.1.17 a) Montrer que la suite Un : [0; l] -----+ ~)nEN
définie par :
5.1.18
Montrer que la suite Un : [0; 1] -----+ ~)n;,. 2
Vn EN, Vx E [O; 1] , f 11 (x) = nx
11 (1 - x )
converge simplement et non uniforméme nt, vers 0, et que :
r' fn(X) dx ~O.
lo
1100
b) Montrer que la suite (g 11 : [O; l] -
lR)n EN définie
par:
définie par :
'
11 11
3 X
si x E [ 0; ~]
(-l)n+I 11 3 (x _ ~ ) . [ 1 2]
SI XE -; -
n n
fn(X) =
0
Si X E rn; 1]
Vn EN, Vx E [O; l], g,,(x) =n
2 x" (l -x)
converge simplement et non uniformément, vers 0 , et que :
converge simplement et non uniformément, vers 0, et que
f 1 g,,(x)dx - 1.
lo
noo
( r' f,,(x) dx) diverge.
lo
n;;,2
5.1.5
Convergence uniforme et dérivation
Dans ce § 5.1.5, l désigne un intervalle de lR , non vide et non réduit à un point.
Soient (gn : l -----+ E)nEN une suite d'applications, a E l.
pour tout n de N, g 11 est continue sur l
Si
(gn)n EN converge uniformément sur tout segment de I ,
vers une application notée g
• g est continue sur l
• en notant, pour n E N, h 11 : l -----+ E la primitive de gn sur l telle
alors
que h 11 (a) = 0, (h 11 )nEN converge uniformément sur tout segment
de l vers une application notée h
L • h est la primitive de g sur l telle que h (a) =O.
Preuve
D'après 5.1.3 Cor. 2 p. 294, g est continue sur!.
Notons h : l -
E la primitive de g sur l telle que h(a) = 0 , c'est-à-dire h : l -
E .
X t--> J: g
299
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5.1 ·Suites d'applications
Si les applications J, 1 : [a ; b] -----+ lK sont continues et si (f, 1 ) 11 converge simplement mai s non uniformé ment sur
[a; b] vers une applicationf, il se peut que la suite (1b ln)
11
diverge (ex. 5.1.18), ou converge vers 1b f (ex.
5.l.17 a)), ou converge vers un élément différent de 1b f (ex. 5.l.17 b)).
{ b
Pour étudier une suite d ' intégrales J a J, 1 (x )dx , il n' est pas toujours nécessaire que soit évoquée la convergence
(notamment uniforme) de la suite de fonctions U 11 ) 11 , cf. plus loin § 5.1.6.
Exercices
5.1.17 a) Montrer que la suite Un : [0; l] -----+ ~)nEN
définie par :
5.1.18
Montrer que la suite Un : [0; 1] -----+ ~)n;,. 2
Vn EN, Vx E [O; 1] , f 11 (x) = nx
11 (1 - x )
converge simplement et non uniforméme nt, vers 0, et que :
r' fn(X) dx ~O.
lo
1100
b) Montrer que la suite (g 11 : [O; l] -
lR)n EN définie
par:
définie par :
'
11 11
3 X
si x E [ 0; ~]
(-l)n+I 11 3 (x _ ~ ) . [ 1 2]
SI XE -; -
n n
fn(X) =
0
Si X E rn; 1]
Vn EN, Vx E [O; l], g,,(x) =n
2 x" (l -x)
converge simplement et non uniformément, vers 0 , et que :
converge simplement et non uniformément, vers 0, et que
f 1 g,,(x)dx - 1.
lo
noo
( r' f,,(x) dx) diverge.
lo
n;;,2
5.1.5
Convergence uniforme et dérivation
Dans ce § 5.1.5, l désigne un intervalle de lR , non vide et non réduit à un point.
Soient (gn : l -----+ E)nEN une suite d'applications, a E l.
pour tout n de N, g 11 est continue sur l
Si
(gn)n EN converge uniformément sur tout segment de I ,
vers une application notée g
• g est continue sur l
• en notant, pour n E N, h 11 : l -----+ E la primitive de gn sur l telle
alors
que h 11 (a) = 0, (h 11 )nEN converge uniformément sur tout segment
de l vers une application notée h
L • h est la primitive de g sur l telle que h (a) =O.
Preuve
D'après 5.1.3 Cor. 2 p. 294, g est continue sur!.
Notons h : l -
E la primitive de g sur l telle que h(a) = 0 , c'est-à-dire h : l -
E .
X t--> J: g
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