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298
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
1
llJ,,111= -+ 1
~ o.
n
1100
1
llfnl li= ~ 1
~ o.
'\f L/1 + J 11 00
fn(I) = 1-0 O.
1100
lo
2rr
fn = 0 ~ 0
0
11 00
lo
2rr
IJ,,I = 2n -0 o.
O
noo
• Si Un)n EN converge uniformément vers f sur [a; b], alors Un)n EN converge en
moyenne quadratique vers f
• Si (f 11 )nEN converge en moyenne quadratique vers f, alors (j 11 )nEN converge en
moyenne vers f
Preuve
1) •En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à l (constante) et f:
ll!ll T = (1 b Il fi)
2
~ (1b 1
2
) (1 b 1 !1
2
) = (b - a)llfl l~ .
• l lfll~ = 1b 1 !1
2
~ (b-a) Sup (lf(x)l
2 ) = (b -a)llfll~ .
a
xe[a:b]
• 1 1 !11 1 = 1b lfl ~ (b - a) Sup lf(x)I = (b -a)ll f lloo .
a
xe[a:b]
2) D'après 1) :
1
11.f., - flloo ~ o ==> 1 1.f., - !I li~ o
11.f., - !Ili-----+ o ==> 11.f., - ! 1 11 -----+ o .
noo
noo
Remarques:
•
1) La convergence en moyenne quadratique ou la convergence en moyenne n'entraînent pas
la convergence simple, comme le montre l'exemple suivant:
a = 0, b = 1, fn : [O; 1] -----+ IR ,
Xl-->Xn
dans lequel Un>neN converge en moyenne quadratique et en moyenne vers 0,
cependant que Un)neN ne converge pas simplement vers O.
2) Soient fn : ([a ; b] -----+ IK)neN une suite d'applications continues et f E C([a ; b] ,IK). Si
Un )neN converge en moyenne vers / sur [a ; b],alors 1 b fn -----+ 1 b f,car, pour tout n de N :
a
noo
a
3) La réciproque de la propriété de 2) est fausse, comme le montre l'exemple :
a = 0, b = 2rr, (ln : [O; 2rr]-----+ IR ) .
x 1-->n sin x
nEN
Les méthodes à retenir
Convergence uniforme et intégration sur un segment,
pour une suite d'applications
1
h
• Pour permuter
et lim , essayer d'appliquer le théorème du§ 5.1.4.
11
1100
Nous utiliserons souvent ce théorème dans la suite de ce cours (séries entières, séries de Fourier,. .. ). Nous complèterons cette étude plus loin, cf. § 5.1.6.