'
Un ouvert de E1 x E2 n'est pas
._ nécessairement le produit cartésien d'un
ouvert de E 1 et d'un ouvert de E1.
1
r'J \ Rappel de notation :
\...:,..) CE( F) est le complémentaire de F
dans E :
'
CE(F) = {x E E ; x (j. F ).
Ceci montre que
CE (B'(a ; r)) est ouvert, donc
8
1 (a ; r ) est fermé.
Remarquer la dissymétrie des propriétés
relatives à l'intersection (pour une famille
quelconque) et à la réunion (pour une
famille finie).
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Preuve
Il
Soit x = (x 1 , ... ,x 11 ) E TI fh . Pour chaque k de {l, .. . ,n},xk E Q k et Qk est un ouvert de E k,
k= I
il existe donc rk E JR'f- tel que BEk(xk; r k) C Q k. En notant r = Min r k > 0 , on a:
l ~k ~n
n
n
n
BE(x; r) =TI BEk(xk ; r) C TI BEk(xk ; rk ) C TI fh .
k= I
k=I
k= I
n
Ainsi, TI Q k est un voisinage de chacun de ses points, donc est ouvert.
k=I
•
Remarque: Avec les notations de la proposition précédente, il peut exister des ouverts de E
n
qui ne soient pas de la forme TI Qk. Par exemple, Q =] - l ; 0[2U]O; 1[
2 est un ouvert
k=I
de IR
2 et il n'existe pas de couple (Q 1 , Q 2 ) de parties de IR tel que Q = Q 1 x Q 2 •
2) Fermés
..
Une partie F de E est dite fermée (dans E) si et seulement si CE(F) est une partie ]
ouverte de E.
l~_ o_n_d _i _ t_ a_ us _s _i_ q_ u_ e_F~e- st _u _n ~t- er _m ~é-(_ d_ e_E_) _ · ~~~~~~~~~~~~~~~----J
Exemple:
Toute boule fermée de E est un fermé de E.
En effet, pour tout (a ,r) de E x IR'f- et tout x de
CE(B'(a ; r)), on a:
B(x ; d(a,x) - r) C CE(B' (a ; r)) .
(i) 0 et E sont des fermés de E.
a
(ii) Pour tout ensemble let toute famille (F;)i EI de fermés de E, n F; est un
i E/
fermé de E.
n
(iii) Pour tout n de N* et tous fermés Fi , . .. , Fn de E, LJ F; est un fermé de E.
i=l
Preuve
Tl suffit de passer aux complémentaires dans la proposition analogue sur les ouverts (cf. 1.1.5 1) Prop. 1
p. 16) . Par exemple, schématiquement, pour la propriété (iii) :
("li E {l ,. .. ,n }, Fi fermé){=} ("li E {l ,. .. ,n},CE(Fi) ouvert)
•
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Un ouvert de E1 x E2 n'est pas
._ nécessairement le produit cartésien d'un
ouvert de E 1 et d'un ouvert de E1.
1
r'J \ Rappel de notation :
\...:,..) CE( F) est le complémentaire de F
dans E :
'
CE(F) = {x E E ; x (j. F ).
Ceci montre que
CE (B'(a ; r)) est ouvert, donc
8
1 (a ; r ) est fermé.
Remarquer la dissymétrie des propriétés
relatives à l'intersection (pour une famille
quelconque) et à la réunion (pour une
famille finie).
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Preuve
Il
Soit x = (x 1 , ... ,x 11 ) E TI fh . Pour chaque k de {l, .. . ,n},xk E Q k et Qk est un ouvert de E k,
k= I
il existe donc rk E JR'f- tel que BEk(xk; r k) C Q k. En notant r = Min r k > 0 , on a:
l ~k ~n
n
n
n
BE(x; r) =TI BEk(xk ; r) C TI BEk(xk ; rk ) C TI fh .
k= I
k=I
k= I
n
Ainsi, TI Q k est un voisinage de chacun de ses points, donc est ouvert.
k=I
•
Remarque: Avec les notations de la proposition précédente, il peut exister des ouverts de E
n
qui ne soient pas de la forme TI Qk. Par exemple, Q =] - l ; 0[2U]O; 1[
2 est un ouvert
k=I
de IR
2 et il n'existe pas de couple (Q 1 , Q 2 ) de parties de IR tel que Q = Q 1 x Q 2 •
2) Fermés
..
Une partie F de E est dite fermée (dans E) si et seulement si CE(F) est une partie ]
ouverte de E.
l~_ o_n_d _i _ t_ a_ us _s _i_ q_ u_ e_F~e- st _u _n ~t- er _m ~é-(_ d_ e_E_) _ · ~~~~~~~~~~~~~~~----J
Exemple:
Toute boule fermée de E est un fermé de E.
En effet, pour tout (a ,r) de E x IR'f- et tout x de
CE(B'(a ; r)), on a:
B(x ; d(a,x) - r) C CE(B' (a ; r)) .
(i) 0 et E sont des fermés de E.
a
(ii) Pour tout ensemble let toute famille (F;)i EI de fermés de E, n F; est un
i E/
fermé de E.
n
(iii) Pour tout n de N* et tous fermés Fi , . .. , Fn de E, LJ F; est un fermé de E.
i=l
Preuve
Tl suffit de passer aux complémentaires dans la proposition analogue sur les ouverts (cf. 1.1.5 1) Prop. 1
p. 16) . Par exemple, schématiquement, pour la propriété (iii) :
("li E {l ,. .. ,n }, Fi fermé){=} ("li E {l ,. .. ,n},CE(Fi) ouvert)
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