Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
,
Remarquer la dissymétrie entre les
l.propriétés relatives à la réunion (pour une
famille quelconque) et à l'intersection
(pour une famille finie.)
f/J
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
16
On se ramène ici aux propriétés des
voisinages.
Plus généralement, pour tout evn
E =!= (0}. tout singleton de E n'est
pas ouvert dans E.
Cf.1.1.1.3) b) p.8.
Exemple:
Toute boule ouverte de E est un ouvert de E.
En effet, pour tout (a,r) de E x JR~, et tout x de
B(a ; r) , on a:
B(x; r - d(a ,x)) C B(a; r).
(i) 0 et E sont des ouverts de E.
(ii) Pour tout ensemble let toute famille (Qi)iET d'ouverts de E, LJ Qi est un ouvert
i E /
de E
n
(iii) Pour tout n de N* et tous ouverts D1 , ... ,Qn de E, n Qi est un
ouvert de E.
Preuve
(i) Immédiat.
(ii) Soit x E LJ f"J; ; il existe i 0 E l tel que x E f"J; 0 • Puisque f"J; 0 est un ouvert
iE/
i=I
de E,Q; 0 E Vc(x) ; comme f"J; 0 C LJ f"J;, on en déduit (cf. 1.1.4 Prop. 1 (ii) p. 15):
ie/
LJQ; E Vc(x).
iE/
Ceci montre que LJ f"J; est un ouvert de E.
iE/
Il
(iii) Soit XE n f"J; ; pour tout ide {l, ... ,n}, Q; E Vc(x), donc (cf. 1.1.4 Prop. 1 (iii) p. 15):
i = I
n
n
n f"J; E VE(x). Ceci prouve que n f"J; est un ouvert de E.
•
i=I
i=I
Remarque: L'intersection d'une famille infinie d'ouverts peut ne pas être un ouvert.
Par exemple, dans lR usuel, pour tout n de N* ,]-_!_; _!_ [ est un ouvert, mais n ]-_!_; _!_ [,
n n
neN*
n n
qui vaut {O}, n'est pas un ouvert de JR.
~4!.!.HIQ!-!.Q
,
Soient n E N*, (Ek, Nk) kk~n des JK-evn, E = n Eh v la norme définie sur Epar :
k=I
V (x1 , ... ,x 11 ) E E,
11
Soit, pour chaque k de {I , ... ,n},Qk un ouvert de Ek. Alors n Qk est un ouvert
k= l
de E.