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(V)
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14
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Si A est une partie bornée non vide de
E,l'ensemble{d(x,y);(x ,y) E A 2 )
est une partie non vide et majorée de IR,
donc admet une borne supérieure dans
JR,notéediam (A).
Cependant, on ne définit pas de diamètre
pour 0 .
1.1.4
Autrement dit, un voisinage de a dans
E est une partie de E qui contient au
moins une boule ouverte centrée
en a.
Preuve
1) Supposons A bornée ; il existe M E IR+ tel que: V (x ,y) E A
2 ,
d(x, y) ::( M.
Si A# 0, il existe a E A, et on a, pour tout x de A: llx ll ::( llx - ail + llall ::( M + llall .
2) Réciproquement, supposons qu'il existe CE R+ tel que: V x E A,llxll ::( C.
On a alors :
V(x ,y) E A
2
,
d (x, y ) = llx - Yll ::( llxll + llYll ::( 2C.
Remarque : Une partie A de E est bornée si et seulement s'il existe une boule fermée (ou
une boule ouverte) contenant A.
Soient X un ensemble, f : X -----+ E une application ; on dit que f est bornée si et
seulement sif (X) est une partie bornée de E.
Ainsi : f : X -----+ E est bornée si et seulement s'il existe C E IR+ tel que :
'lx EX, ll f(x) ll ::( C.
Soit A une partie bornée et non vide de E.
On définit le diamètre de A, noté diam (A), par : diam(A) = Sup d(x,y).
(x,y) EA 2
On peut noter, pour toute partie A non bornée et non vide de E : diam (A)= +oo. Alors, pour
toute partie non vide A de E: A est bornée si et seulement si diam (A) < +oo.
1) Soient A, B E s.p (E) telles que A C B. Si B est bornée, alors A est bornée ; si,
de plus, A =f. 0, alors : diam (A) :::::; diam (B).
n
2) Soient n E N*, A 1, ... An des parties bornées de E ; alors : LJ Ai est bornée.
i=I
3) Toute partie finie de E est bornée.
Preuve
1) Immédiat.
2 ) Puisque A 1 , ••• , An sont bornées, il existe C 1 , ••• ,Cn E IR+ tels que:
'li E {l , ... ,n}, 'lx E A i, llxll ::( Ci .
n
n
En notant C = Max C; , on a alors : Vx E LJ Ai, llx ll ::( C, ce qui montre que LJ Ai est bornée.
l ~i ~n
i= I
Î= I
3) Se déduit de 2) en remarquant que tout singleton est borné .
•
Voisinages
Soient (E , 11- 11) un IK -evn, d la distance associée à 11-11.
Il
r
oient a E E, VE l_p(E) ; on dit que V est un voisinage de a (dans E) si et seulement s'il exister E ~~ tel que B(a; r) C V.
On note VE(a) (ou V(a)) l'ensemble des voisinages de a (dans E).
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Si A est une partie bornée non vide de
E,l'ensemble{d(x,y);(x ,y) E A 2 )
est une partie non vide et majorée de IR,
donc admet une borne supérieure dans
JR,notéediam (A).
Cependant, on ne définit pas de diamètre
pour 0 .
1.1.4
Autrement dit, un voisinage de a dans
E est une partie de E qui contient au
moins une boule ouverte centrée
en a.
Preuve
1) Supposons A bornée ; il existe M E IR+ tel que: V (x ,y) E A
2 ,
d(x, y) ::( M.
Si A# 0, il existe a E A, et on a, pour tout x de A: llx ll ::( llx - ail + llall ::( M + llall .
2) Réciproquement, supposons qu'il existe CE R+ tel que: V x E A,llxll ::( C.
On a alors :
V(x ,y) E A
2
,
d (x, y ) = llx - Yll ::( llxll + llYll ::( 2C.
Remarque : Une partie A de E est bornée si et seulement s'il existe une boule fermée (ou
une boule ouverte) contenant A.
Soient X un ensemble, f : X -----+ E une application ; on dit que f est bornée si et
seulement sif (X) est une partie bornée de E.
Ainsi : f : X -----+ E est bornée si et seulement s'il existe C E IR+ tel que :
'lx EX, ll f(x) ll ::( C.
Soit A une partie bornée et non vide de E.
On définit le diamètre de A, noté diam (A), par : diam(A) = Sup d(x,y).
(x,y) EA 2
On peut noter, pour toute partie A non bornée et non vide de E : diam (A)= +oo. Alors, pour
toute partie non vide A de E: A est bornée si et seulement si diam (A) < +oo.
1) Soient A, B E s.p (E) telles que A C B. Si B est bornée, alors A est bornée ; si,
de plus, A =f. 0, alors : diam (A) :::::; diam (B).
n
2) Soient n E N*, A 1, ... An des parties bornées de E ; alors : LJ Ai est bornée.
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3) Toute partie finie de E est bornée.
Preuve
1) Immédiat.
2 ) Puisque A 1 , ••• , An sont bornées, il existe C 1 , ••• ,Cn E IR+ tels que:
'li E {l , ... ,n}, 'lx E A i, llxll ::( Ci .
n
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En notant C = Max C; , on a alors : Vx E LJ Ai, llx ll ::( C, ce qui montre que LJ Ai est bornée.
l ~i ~n
i= I
Î= I
3) Se déduit de 2) en remarquant que tout singleton est borné .
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Voisinages
Soient (E , 11- 11) un IK -evn, d la distance associée à 11-11.
Il
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oient a E E, VE l_p(E) ; on dit que V est un voisinage de a (dans E) si et seulement s'il exister E ~~ tel que B(a; r) C V.
On note VE(a) (ou V(a)) l'ensemble des voisinages de a (dans E).
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