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D o.
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1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
SolutioH
y
2
- 1
0
1
X
-2
Tracé de B'N (O; 1) (en bleu foncé)
Exencices
1.1.11 Soient (E,1111) un evn, (a ,b) E E
2 , (r,s) E (JR~_)2,
À E IK - {O}. Montrer:
1) B '(a; r) + B'(b; s) = B
1 (a + b; r +s)
2) ÀB
1 (a; r) = B
1 (Àa; IÀ.lr)
3) B' (a; r) n B'(b; s) # 0 {=}lia - hll :( r + s
4) B'(a; r) C B' (b ; s) {=}lia - bll ~ s - r
5) B' (a; r) = B'(b ; s) {=} {a= b
r=s
(on supposera E # {O} pour 4) et pour 5)).
CoHseils
Les courbes
Ci : y2 = 4(x + 1)
C2: i =4(-x + l)
sont des paraboles, et elles se coupent aux
deux points (0, 2) et (0, - 2).
1.1.12
Soient E un IK-ev, Ni ,N 2 deux normes sur E ,
a E E , r E Ri ; on suppose B~, (a ; r)= B~ 2
(a; r).
Montrer Ni = N2 .
1.1.H Montrer que, dans tout evn, toute boule ouverte
(resp. fermée) est convexe.
1.1.3
Parties bornées d'un evn
Soient ( E , 11-11) un IK-evn, d la distance associée à 11 -11Si un réel M convient, tout réel plus
grand convient aussi.
Une partie A de E est dite bornée si et seulement si :
l
3 ME IR+, V (x ,y) E A
2
,
d(x ,y) ~ M. _]
Si un réel C convient, tout réel plus
grand convient aussi.
Une partie A de E est bornée si et seulement si:
l
3 CE IR+, Vx E A, llxl l ~ C.
l
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