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Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Cas d'une application définie sur un
intervalle ouvert.
On a ainsi :
- oo :::;; a < b :::;; +oo.
On a ainsi : -oo < a < +oo et
-oo< b ::,;+oo .
• Puisque f est continue sur le segment [a; b], f est bornée, et on a, pour tout X de [a; b[ :
donc:
[ x f -----+ [ b J.
l a
X-'>b l a
D'après Prop. l p. 173, on conclut : j f - [b J
[a:b[
la
Soient (a,b) E (Ïi~)
2
, tel que a < b,f E CM(]a; b[, IK).
1) Les trois propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i)f est intégrable sur ]a ; b[
(ii) Il existe c E]a ; b[ tel quef soit intégrable sur ]a; c] et sur [c; b[
(iii) Pour tout c de ]a; b[,f est intégrable sur ]a; c] et sur [c,b[.
•
2) Si f est intégrable sur ]a; b[, alors, pour tout c de ]a ; b[ , l'application
F :]a; b[-----+ IK , définie par F (X) = 1x f, admet des limites finies en a et b, et
on a:
[
f = lim F(X) - lim F(X).
l]a;b[
x~b
x~a
L'intégrale [
f est alors aussi notée 1b f (ou : 1b f (x) dx).
Jja;b[
a
a
Preuve
1) Cf. 3.2.2 Prop. 9 p. 170.
2) D'après la relation de Chasles: [
f = [ f + 1 f.
l ia:b[
l ia:c]
[c:b[
D'autre part, comme f est intégrable sur ]a ; c] et sur [c; b[, on a, d'après la Prop. l p. 173 :
F(X) = - r f -----+ - { f
lx
X-'>a
l ia;c]
et F(X) = {X f -----+ 1 f.
l e
X -'>b
[c;b[
On conclut:
[
f = lim F(X) - lim F(X).
l ia;b[
X-'>b
X -'>a
•
Soient (a ,b) E (l~U {-oo}) x (l~U {+oo}) tel que a < b, l un intervalle d'extrémités a ,b, F : l -----+ lK une application continue sur/. Si F admet des limites finies
en a et en b, on note :
L
[ F(x)]x:_b = [F (x) ]b = limF - limF.
x-a
a
b
a
Ainsi, d'après la Proposition précédente, si f E CM(]a; b[,IK) est intégrable sur ]a; b[, alors,
en notant

lb f(x) dx = [ Soient (a ,b) E IR x (l~ U {+oo}) ,f E CM([a; b[, IK), g E CM([a; b[, IR) .
{
g~ O
Si g est intégrable sur [a ; b [ , alors f est intégrable sur [a; b [.
f = O(g)
L
b